Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

И если угол у нас есть x, то растяжение, очевидно, равняется x·√–1. Но какое же имеет сюда отношение e?

Известно, что когда одна величина равномерно помножается при одинаковых приростах другой, то говорят, что она вырастает логарифмически. Если взять отношение прироста первой величины при увеличении второй на единицу к самой величине, то по этому отношению можно судить о размерах логарифмического возрастания. Когда мы постепенно увеличиваем угол x и соответственно получаем увеличение радиуса xi, то ясно, что xi растет здесь логарифмически. То же находим мы в т.н. логарифмической спирали. Изучение логарифмической спирали как раз и дает нам искомое решение вопроса.

Оказывается, что если мы станем искать в логарифмической спирали результат поворота луча-единицы на угол-единицу, то при логарифмической скорости возрастания этого луча-единицы (равной котангенсу углов, по которым логарифмическая спираль называется также равномерной) результат этот будет как раз ex, где x – число угловых единиц поворота, есть то, во что превращается начальный луч, равный единице, когда мы, вращая его на угол, равный x угловым единицам, получаем в результате этих вращений постепенное его логарифмическое возрастание, рисующее нам структуру логарифмической спирали. Следовательно, ei есть тоже результат поворота нашего радиуса OA на i угловых единиц, потому что быстрота логарифмического возрастания OP, отнесенная к угловой единице, есть i. Результат же поворота на угол x равен, очевидно, exi.

4.

Все это математическое рассуждение, однако, будет совершенно слепым, если мы не предпримем здесь философской интерпретации.

а) Прежде всего, достойно всяческого приветствия толкование окружности при помощи мнимых величин. Когда мы в § 107 говорили о перспективном оформлении, которое приносят с собою мнимые и комплексные числа, то это, конечно, должно было производить на неподготовленных впечатление насильственно притянутых фактов. Не угодно ли теперь воочию убедиться в правильности произведенного там исследования?

Мы можем иметь вещественную прямую и вещественный к ней перпендикуляр. Но мы можем иметь только одну вещественную прямую и соотносить с нею все решительно точки плоскости, вещественно не выходя за пределы данной прямой. Тогда точки этой плоскости оказываются не реальными, а только представляемыми, «мнимыми» точками, идеально созерцаемыми с данной вещественной прямой. Точно так же мы можем иметь круг и его вещественную окружность. Но мы можем эту окружность созерцать с точки зрения прямой, мыслить в категориях, не выходящих за пределы прямой. Тогда окружность, как нечто выходящее за пределы прямой и, след., предполагающее уже другое измерение, окажется только представляемой, мнимой, подобно нарисованным предметам, которые хотя и даны вещественно в одной плоскости, но представляются нами в пространстве, в рельефе, в перспективе. Указанное выше представление дуги и окружности круга как некоей величины xi, где x является тем или другим числом угловых единиц, есть очевиднейшее доказательство перспективного характера мнимой величины и связи ее с чисто смысловым оформлением бытия. Тут мы наглядно видим, как из целесообразного применения гауссовской концепции мнимостей можно конструировать то, что хотя и мыслится вещественно, но при вещественном понимании не создается в своей фигурной границе. Представление об окружности как о 2πr дает очень ценную идею, но это не есть идея фигурного конструирования окружности, в то время как это последнее вполне осязаемо совершается через употребление мнимого числа i.

b) Однако эта концепция тут не единственная. Пожалуй, еще важнее то, что ex оказывается связанным с теорией логарифмической спирали. Это обстоятельство чрезвычайно важно, и необходимо отдавать себе в нем полный отчет. Тут два вопроса, один – о принципиальном отличии участия e в конструировании окружности от участия его в спирали, и другой – о принципиальном сходстве того и другого.

Бросается прежде всего в глаза, что для [случая] логарифмической спирали e входит без всякой мнимости. Ведь если упомянутый выше котангенс принять тоже за единицу, то мы получим наипростейшее уравнение логарифмической спирали в виде r = ex.

Тут, как видим, совсем не входит i. И это понятно почему. Ведь луч получает тут все время вещественное приращение, в то время [как] для круга он остается постоянно вещественно равным самому себе, а приращение его выражается мнимыми единицами и переходит в построение самой окружности. Поэтому спираль, на основании указанного ее уравнения, мы мыслим обязательно вещественно, а окружность, на основании упомянутого приращения радиуса, мы мыслим как мнимую (хотя как 2πr или как x2 + y2 = z2 она вполне вещественна). Это кладет принципиальное отличие между обеими кривыми с анализируемой здесь точки зрения на них.

При всем том, однако, между обеими кривыми существует глубочайшее сходство. Обе они развертываются на основе логарифмического возрастания луча-единицы. Другими словами, обе они одинаковым образом появляются из e, из трансцедентного. Обе они суть, в общем, одинаковые эманации трансцедентного. Именно для того и другого трансцедентное должно выйти за свои пределы; оно должно излиться в реальных эманациях и облечься некой телесностью, выразительно-смысловым телом. Оно может по-разному конструировать это тело. Оно может оставить его при себе, употребивши его всецело на выражение своих собственных глубин, так что тело это не уйдет в бесконечное становление, но его становление будет иметь только единственную функцию – выражать и выявлять трансцедентное, не растекаясь, но всегда возвращаясь в себя и ориентируясь вокруг себя же самого. Таков круг, окружность которого является не вещественным, а чисто идеальным (или мнимым) оформлением. Это – мнимая степень e. С другой стороны, трансцедентное может исходить такими эманациями, которые уже не дадут мнимого, т.е. только смыслового тела, но перейдут в реальное становление, в вещественную эманацию. Образ вещественных (а не только идеально выразительных) эманаций трансцедентного есть спираль, а именно логарифмическая спираль. На этом мы отчетливо видим все сходство и несходство двух рассматриваемых кривых.

c) Итак, exi есть символ идеально выраженной эманации трансцедентного, или образ облачения трансцедентности в адекватно выражающее его тело. Окружность, которая конструируется при помощи этой показательной функции, оказывается образом выразительного оформления и воплощения трансцедентности, расцветшей здесь до степени самодовлеющей, постоянно возвращающейся к себе самой и саму себя обтекающей полноты действительности.

Только теперь мы можем начать разгадывать тайну тригонометрических функций.

5.

a) Выше (п. 3b) мы получили чисто аналитически, что

exi = cos x + isin x.

Получивши это выражение аналитически, мы в нем ровно ничего не понимали, оставаясь только при голом факте загадочного и таинственного вывода. Последующее показало нам, что такое exi. Теперь посмотрим, что такое правая часть этого равенства и в чем заключается ее смысл. Это и есть вопрос о сущности тригонометрических функций.

Взглянувши на [рис. 9], мы