Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

ровно ничем не отличается от степени раскрытия ограничиваемого внутреннего содержания. Насколько проведена граница предмета, настолько порождено его внутреннее содержание. Тут весьма интересна диалектика, хотя и обычна: пока совершается самый процесс проведения границы, еще нет ничего ни внутреннего, ни внешнего; но, как только замкнулась граница, мгновенно появилась антитеза внутреннего и внешнего и их синтез в факте самой границы. Стало быть, пока граница не замкнута, внутреннее и внешнее с их антитезой и синтезом только еще зарождаются; и в процессе этого зарождения сама внешняя граница и раскрытие внутреннего содержания ограничиваемого еще не дифференцировались, они пока еще вполне тождественны. Нужно только помнить, что так это происходит только в процессе рождения границы и ограничиваемого; и потому не в смысле устойчивого пребывания того и другого, но в смысле проникновения до последней зародышевой формы того и другого – необходимым является это тождество ограничивающего и ограничиваемого.

8.

a) Как эта конструкция дана в математике? В математике, именно в теории пределов, обычно дается учение об одном замечательном пределе, который по своей важности сопоставим даже с пределом e. Правда, этот предел выражен как будто не столь обще, как этого требовала бы развитая только что концепция взаимоотношения ограничиваемого и ограничивающего. Однако это делу нисколько не вредит, так как, несмотря на частный характер этого предела, он выражает как раз предложенную нами концепцию предела. Именно, существует в теории пределов такой предел:

lim x→∞ sinx/x = 1.

b) Анализируя его с диалектической точки зрения, мы находим следующее.

1) Речь идет прежде всего о синусе. Синус есть мера раскрытия, развертывания угла. Синус свидетельствует о степени раздвинутости сторон, образующих угол; он раскрывает то содержание, которое кроется между сторонами угла.

2) Если x в этом пределе есть длина дуги, a sinx есть синус угла, соответствующего этой дуге, то вполне правильно будет признать, что x есть проводимая граница, а sinx есть мера развертываемого внутреннего содержания, получающегося в результате проведения этой границы.

3) Далее, берется отношение между синусом угла и длиной соответствующей дуги; и отношение это берется к тому же не просто как такое, но как предельное отношение, т.е. при том условии, что x стремится к 0. И длина дуги, и синус соответствующего угла берутся в самом их зарождении или, что все равно, в самом их окончании, т.е. вообще в процессе их становления.

4) И утверждается: этот предел равен 1. Другими словами, sinx и x в пределе оказываются равными одно другому, раз отношение между ними в пределе равно 1. Как раз это самое и утверждалось выше, когда говорилось, что в пределе ограничивающее и ограничиваемое вполне тождественны, что проведение внешней границы и раскрытие внутреннего содержания, в смысле предельных процессов, ничем не отличаются одно от другого.

9.

a) Учением о пределе отношения синуса угла к длине соответствующей дуги вполне ясно демонстрируется диалектическое учение о становлении границы как о моменте, составляющем антитезис энергийно-выявленной единичности. Но становление должно стать ставшим, чтобы диалектика в данном пункте получила завершение. Ставшее, говорили мы, в сфере смысла есть фигурность смысла. Ставшее, кроме того, т.е. фигурность смысла, мы берем пока не в абсолютной чистоте и самодеятельности, но вместе со стихией энергийно-выявленной единичности. Это ставшее оказывается, таким образом, ставшим границы в условии такого взаимоотношения ее с размерами очерченного границей содержания. Здесь уже не становящаяся, внешняя граница в ее взаимоотношении с очерчиваемым внутренним содержанием, но законченная, замкнутая граница в ее взаимоотношении со всей целостью очерченного внутреннего содержания. В математике этой диалектической конструкции соответствует число π, определяемое как отношение длины окружности к ее диаметру. Что окружность есть замкнутая граница, это очевидно. Что диаметр указывает на степень раскрытия и растворения или, грубо говоря, просто на размеры окружности, это тоже само собой понятно. Стало быть, π и есть как раз отношение законченной внешней ограниченности к очерченному внутреннему содержанию, т.е. та самая концепция предела, которая является синтетическим завершением энергийной единичности, получившей, наконец, цельное очертание, сопоставленное со своим внутренним инобытием.

b) Интересен также еще и другой вид представления π как предела, а именно – как площади круга с радиусом, равным 1. Как мы знаем из элементарной геометрии, площадь f правильного вписанного в круг 2m-угольника равняется

f2m=m/2(√(2 – 2√(1 – (2fm/m)2))

Отсюда

π = lim n→∞ f n2m,

если n есть количество удвоений сторон вписанного m-угольника. Если сторона квадрата равняется r√2, т.е., по условию, √2, а, следовательно, площадь его = 2, то отсюда легко вычисляется и само π, равное, как известно, 3,14159265…

c) Это представление π как площади круга с радиусом, равным единице, подчеркивает в π момент выявленности внутреннего содержания, как бы дорастания его до степени явленности, до степени полной и законченной очерченности. Единица в диалектическом смысле есть полагание как таковое. Провести окружность каким бы то ни было радиусом – значит дать некую фигурность, ориентированную на невидимый центр, и притом так, что каждый момент этой фигурности ориентирован совершенно одинаковым образом и фигурность возвращается сама к себе, будучи некоей самодовлеющей явленностью. Провести же окружность радиусом, равным единице, значит получить фигурность, которая своей внутренней сущностью призвана к тому, чтобы демонстрировать самодовлеющую явленность энергийной единичности, как бы ее обтекающую выраженную полноту, эманативно-фигурную ограниченность и скомпонованность или, если угодно, внешнюю размерность. Число π демонстрирует нам то постоянное отношение, которое существует между этой внешне-эманативной размерной полнотой и внутренним содержанием этой полноты. В наивной форме это и понимается в математике как «предел отношения окружности к диаметру».

Позже мы не раз столкнемся именно с такой интуицией, лежащей в основе построения числа.

d) Между прочим, трансцендентность числа π, в логическом смысле, яснейшим образом вытекает из понимания его как некоей предельной площади. В последнем из приведенных математических выражений мы, с одной стороны, имеем бесконечный рост количества сторон вписанного многоугольника, с другой стороны – бесконечное нарастание его площади. Эти две бесконечности вплетены одна в другую, и потому их результат есть становление становления в пределе, т.е. число трансцедентное.

§ 112.

Трансцедентное число

(в связи с трансцедентными функциями)

1.

Линдеман обобщил бывшую до него теорему о невозможности для числа e быть корнем уравнения, в котором коэффициенты и показатели являются целыми рациональными числами. А именно, он доказал, что в этом случае коэффициенты могут быть любыми, а показатели – различными между собою алгебраическими числами. Частным случаем этой теоремы Линдемана оказывается то, что в уравнении

ex