Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

это такое? Есть ли это то понимание законченного предела, о котором мы говорили выше? Нет, здесь мы получили только отношение единицы к инобытию и механическое присоединение его к самой единице. Тем не менее нами замыслена такая категория, чтобы единица не только содержала в себе свое отношение к инобытию, но чтобы она вместе с нарастанием этого отношения не оставалась одной и той же, замерзшей и оцепеневшей субстанцией, но чтобы она вновь и вновь воплощалась, пусть хотя бы в идеальном воплощении – по мере роста этого взаимоотношения с инобытием. Дуализм «вещи в себе» и «явления» будет преодолен не тогда, когда «вещь в себе» останется самой по себе, не затронутой никаким «явлением», а «явление» только внешне к нему присоединится. Дуализм исчезнет только тогда и «вещь в себе» только тогда действительно начнет излучать из себя живые бытийственные энергии, когда она, эта «вещь в себе», будет вовлечена в процесс реального становления, когда она вместе с нарастанием своего взаимоотношения с инобытием (поскольку инобытие есть становление) нарастает идеально и сама, переходя в подлинно бытийственный процесс соответствующего возрастания. В каждый новый момент нарастания своего взаимоотношения с инобытием единица воплощается и повторяется заново вместе с тем приростом, который был до сих пор. Только при этом условии неявленная сущность и становится энергией и субстанция – эманацией. Математически это значит, что предыдущий двучлен бесконечно повторяет сам себя n раз, т.е. он должен быть возведен в n-ю степень, при условии, что это n по-прежнему продолжает увеличиваться до бесконечности. Это есть знаменитый предел, обозначенный в математике как e – основание натуральных логарифмов

lim n→∞ (1 + 1/n)n = e.

b) Короче говоря, в этой формуле – два положенных друг на друга становления: становление бесконечным того числа, с которым единица соотносится (весь натуральный ряд чисел), и становление бесконечной той степени, в которую эта единица вместе со своим инобытийным соотнесением возводится (тут опять натуральный ряд чисел). Стало быть, уже из одного этого видно, что e есть многомерная, т.е. выразительная, эманативная бесконечность, а это и есть признак трансцедентного числа.

3.

Тут перед нами прекрасный образец того, каким методом пользуется математика для превращения философского построения в математическое. Этот метод – чисто числовой; и, как таковой, он оставляет без внимания все понятийное содержание философского построения и превращает его в числовую и количественную схему. Однако даже если оставить понятийное содержание без рассмотрения, оно все же вполне определенным образом отражается на числовой схеме и дает ее специфическую формальную структуру и фигурность. И вот эту-то специфическую фигурность числовой схемы, фигурность, выраженную численно, но имеющую не численное, а понятийное происхождение, философ и должен уметь анализировать, если он хочет философски понять математические основы бытия. Число e, являющееся основным в теории пределов, в своем философско-диалектическом раскрытии дает идеальную выявленность и сконструированность чисто идеальной потенции алогически становящейся единичности. Единица не берется в своем уединенном и тупом существовании, но – как выросшая до той степени, когда она вбирает в себя все свои возможные инобытийные судьбы и дает идеально-софийную воплощенность и субстанциально-энергийную, эманативную само-преисполненность. Это тот предел, который является первопринципом единицы со всей ее жизнью и судьбой, как бы возросшей, разбухшей, расцветшей единицей, органически ставшей и созревшей, как живое тело, единицей. Это идеальный и энергийный прообраз всякого предела, ибо это предел идеально ставшей единицы.

4.

a) Весьма интересно разложение этого e в реальный ряд – с точки зрения предложенной нами диалектики трансцедентности. Возьмем это Неперово число не в виде разложения по биному Ньютона, а в следующем виде, тождественном, как известно, с разложением по правилу бинома Ньютона:

1 + 1/1 + 1/1·2 + 1/1·2·3 + …

Попробуем дать диалектическую формулу этого ряда.

Прежде всего, мы имеет здесь 1) саму единицу. Далее, мы имеем здесь 2) отношение единицы к самой себе, т.е. самосоотношение единицы, во втором члене. Это же является, конечно, и отношением единицы к единице вообще, к инобытию. В последующем каждый член становится по мере удаления от начала ряда все меньше и меньше. Следовательно, здесь налицо дробление этого самосоотношения, т.е. становление этого самосоотношения, и, следовательно, выявление всякого возможного его содержания. Это дробление и это выявление всех мельчайших внутренних возможностей самосоотношения дано здесь в бесконечном процессе, в алогически становящемся бесконечном процессе. Итак, здесь – 3) алогически становящаяся живая бесконечность единичного самосоотношения (или отношение единицы со всеми прочими единицами).

Но это еще не все. Всматриваясь в строение членов ряда, начиная с третьего, мы замечаем, что тут первоначальное отношение 1/1 дробится не в том смысле, что оно равномерно становится все меньше и меньше, как, напр., было бы, если бы ряд имел форму 1 + 1/1 + 1/1·2 + 1/1·2·2 + 1/1·2·2·2 … и т.д. В этом случае закон уменьшения оставался бы везде совершенно одинаковым, требуя повсюду, чтобы каждый последующий член был вдвое меньше предыдущего. В нашем ряде мы имеем совсем другое. Здесь основное самосоотношение 1/1 сначала взято как половина 1/1·2, потом – не как половина же этой половины, но уже как ее треть 1/1·2·3, потом опять – не как половина этой трети и даже не как ее треть, но уже как ее четверть 1/1·2·3·4, и т.д. и т.д. Следовательно, здесь у нас не только уменьшение членов ряда в силу единообразного закона дробления, но здесь еще определенная эволюция самого этого закона, который уже не однообразен при всех переходах, но совершенно разного рода. Именно, он тоже становится в смысле уменьшения. Не только тут уменьшение как таковое, но еще и прогрессирующее уменьшение, прогрессирующее увеличение скорости этого уменьшения. Здесь не просто алогически становящаяся бесконечность единичного самосоотношения, но и – 4) становление самого этого становления, инобытие этого становления. Наконец, нетрудно заметить, что в нашем ряде дан и 5) определенный закон инобытия этого становления. А именно, основное самосоотношение уменьшается при помощи дробления на последовательно нарастающие числа натурального ряда, продолженного в бесконечность.

b) Этот анализ основных моментов предела e, выраженного при помощи ряда, сразу становится анализом диалектическим, если мы примем во внимание следующее. Третий момент из тех, которые мы только что указали, говорит об алогическом становлении или, вернее, о законе алогического становления живой самостановящейся единичности. По сравнению с этим третьим моментом четвертый – конструирующий инобытие для этого закона, или, как сказано выше, становление самого становления. Следовательно, третий и четвертый моменты связаны между собою как тезис и антитезис; они – диалектическая противоположность. Стало быть, если предел, вообще говоря, есть