Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

class="p1">5) При этом мы должны оба числа изучаемого соотношения, т.е. и трансцедентный «остаток», и инобытийную бесконечность, представить не иначе как в атмосфере эманации. «Остаток» должен трактоваться как результат эманации, и инобытийная бесконечность должна трактоваться как результат эманации. Позже, в анализе Неперова числа e, мы увидим, что e, основание натуральных логарифмов, является самым основным и примитивным трансцедентным числом, так как оно говорит о соотнесенности с инобытием не чего другого, как самой обыкновенной единицы, так что, если угодно, e может считаться своего рода трансцедентной единицей, или первообразом трансцедентности вообще. Поэтому, если мы покажем, как данное число, конечное или бесконечное, появилось из e, то этим самым мы обрисуем данное число именно как результат эманации трансцедентного. Но всякое данное число может быть получено из e путем возведения его в ту или иную степень, т.е. свидетелем происхождения данного числа из трансцедентной эманации может явиться только его натуральный логарифм.

Но проводимая здесь позиция для разыскания трансцедентного числа 6) должна привести к тому, что между этими двумя бесконечностями, трансцедентным «остатком» и инобытийной бесконечностью, в свою очередь должна залегать бесконечность, так что, только подвергаясь бесконечному умалению или росту, эти две бесконечности могут встретиться.

А 7) если, кроме того, инобытийная бесконечность есть отрицательная, то отношение между натуральными логарифмами трансцедентного «остатка» и самой инобытийной бесконечности, отношение, взятое в пределе (поскольку инобытие только еще растет в бесконечность), это отношение и есть не что иное, как отрицательная бесконечность.

Все это с математической точностью зафиксировано в указанном выше достаточном признаке трансцедентности по Лиувиллю.

3.

Этот признак Лиувилля переработан Гельфондом (в указанной статье соответствующего заголовка) в необходимый и достаточный признак путем рассмотрения вместо нижней границы двучленов первой степени относительно данного числа нижней границы многочленов любой степени от него. Это, однако, не вносит ничего принципиально нового в наш анализ, хотя и действительно уточняет математическую теорию. Гельфонд оперирует здесь с т.н. высотой многочлена, которая, во-первых, растет вместе с номером соответствующего коэффициента, а во-вторых, берется в соответствующей степени, при стремлении того и другого в бесконечность. Следовательно, многомерность бесконечно становящегося инобытия соблюдена и здесь; прочее же все в философском отношении не существенно, так как различие между биномом и полиномом в философском отношении не может явиться принципом для новой теории.

4.

Признак Лиувилля дает возможность без особого труда построить новые трансцедентные числа (путем разложения) и проверять трансцедентность уже известных. Так, если мы имеем 1 и потом будем брать последовательно отношения этой 1 к некоей растущей функции, возведенной в степень, показатель которой будет тоже некоей растущей функцией, то, беря предельные отношения, мы получим из суммы всех этих отношений не что иное, как трансцедентное число. Напр., число ω, при l > 0, будет трансцедентным числом, если мы его определим при помощи ряда:

ω = 1 + 1/l + 1/l1·2 + … + 1/l1·2·…n + 1/l1·2·…n·(n+1) + …

Тут мы имеем данное число, 1, и его отношение к его инобытию, т.е. к иному числу, 1/l. Далее это отношение вступает в двойное становление. Одно становление – это последовательное повышение степени: 1/l; 1/l2; 1/l3 … Другое становление – это последовательное накопление предыдущих степеней: 1/l; 1/l1·2; 1/l1·2·3 и т.д. Оба бесконечных становления даны в пределе.

§ 111а.

Трансцедентное число

(e, отношение синуса к дуге и π)

1.

a) Но отчетливее всего, проще всего, а самое главное, значительнее всего для всей математики строится знаменитая трансцедентность e, т.н. Неперово число, или основание натуральных логарифмов. Это, если угодно, совершенная идея и всякого предела. История философии дала бы нам немало аналогий, если бы мы стали прослеживать эту идею исторически. Тут прежде всего вспоминаются, конечно, софиологические учения античной философии. Учение об Уме в неоплатонизме, имманентно саморазвивающемся в Мировой Душе, есть учение об энергийно преисполненном Смысле, эманирующем свои смысловые потенции и объединяющем идеальную неподвижность Ума с реальной живой подвижностью сферы Души. Эта потенция, перешедшая в энергию, все еще вполне идеальна, но она как бы вобрала в себя все свои возможные судьбы в инобытии. Она не перешла реально в инобытие, но она идеально предвосхитила все свое возможное инобытие. Учение об идеале у немецких философов начала XIX в. относится сюда же. Это предел всех возможных взаимоотношений данной смысловой структуры с окружающим ее инобытием. Тут в идее дана полная тождественность смысловой структуры с инобытием, так что эта структура перестает быть отвлеченным и пустым принципом и голой потенцией, но превращается в универсальную энергию, смысловым образом несущую на себе всю бытийственную тяжесть данной структуры. Прибегая к обычному диалектическому схематизму, нужно сказать так. Потенция – отвлеченный принцип. Он переходит в свое инобытие и воплощается в своем инобытии. Это заставляет его превратиться из голого принципа в некую телесную оформленность. Переходя в инобытие, этот принцип там находит себя, т.е. осуществляется и воплощается в этом инобытии целиком и полностью. В результате – синтез потенции (или принципа) и ее потенциального же инобытия в энергии, причем все эти три момента действуют все еще в сфере чисто числовой.

b) Этот особого рода предел – не случаен и не выбран по капризу. Он – основная структура наполненного и конкретно явленного предела. Этот основной характер так сконструированного предела еще более делается важным и даже исходным для всякого учения о пределе вообще, если мы за числовую структуру, получающую энергийную перестройку, примем единицу. Такая единица, взятая сначала как потенциальная структура, а потом тут же перестроенная в энергийную структуру, является, можно сказать, прообразом всякого предела, переделывающим на свой манер всякую другую структуру, с которой он вступает в связь (как это мы увидим ниже, например, в теории рядов).

2.

a) Итак, мы берем сначала единицу как таковую, безотносительно к ее росту и безотносительно к ее энергийной обработке. Затем, поскольку мы задались целью взять также и отношение этой единицы ко всякому возможному инобытию, мы должны рассмотреть и это инобытие. Что такое инобытие? Всякое инобытие есть прежде всего становление. Кроме того, само по себе взятое, оно есть беспредельное становление, т.е. становящаяся бесконечность. Нужно взять отношение единицы к этой становящейся бесконечности, т.е. взять 1/n с условием, что n стремится к бесконечности. Итак, прибавивши к основной единице ее отношение ко всякому возможному инобытию, мы получаем 1 + 1/n.

Тут перед нами субстанция, утвержденность, положенность вместе со всеми возможными взаимоотношениями с окружающим ее безбрежным инобытием.

Но что