Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

дана только «двумерная», так сказать, энергийность, поскольку с вещественной точкой вещественной прямой соотнесена та или другая точка плоскости. Ясно, что становление тут хотя и является становлением становления, но оно не уходит в бесконечность становлений, как того требовала бы трансцедентная энергийность. Следовательно, и с этой стороны мнимая степень трансцедентности не есть полный диалектический синтез числа алгебраического и трансцедентного.

Разумеется, вовсе [не] необходимо фиксировать всю бесконечность измерений и всю бесконечность становлений. Необходимо только показать, как вообще мыслится в этом случае переход от одного измерения к другому и от одного становления к другому и как вообще мыслится та или иная целость измерений и становлений. Все же, однако, это не осуществимо средствами простых комплексных чисел и требует нахождения новой математически-логической категории.

2.

Проще всего это мы сделаем так. Вспомним, что в диалектике не только антитезис является отрицанием тезиса и введением инобытия к нему, но и синтез есть отрицание антитезиса и введение нового инобытия к нему. Если это инобытие правильно подобрано, то оно и вернет нас к тезису, который ведь и есть не что иное, как отрицание отрицания. Комплексное число характеризует определенным образом направленную величину, или вектор (вспомним: вещественная и мнимая часть есть ведь только два слагаемых вектора). Следовательно, необходимо еще инобытие этого вектора или другой такой же вектор. Оба вектора должны быть чем-то единым. Тут-то и кроется подлинный синтез, который создаст нужную нам категорию выражения.

Когда мы имеем a + bi, мы рассматриваем с точки зрения вещественной прямой – плоскость. Введем еще ряд таких же единиц мнимости: j2 = k2 = l2 = –1. Пусть с нашей прямой a мы рассматриваем уже не плоскость, а пространство. Это значит, что мы должны выйти за пределы нашей комплексной плоскости, т.е. должны нашу новую мнимость j направить по перпендикуляру не к прямой a, но ко всей плоскости a + bi. Допустим, что мы дальше хотим наблюдать судьбу и самого трехмерного пространства, т.е. смотреть куда-то в четвертое измерение. Тогда еще новая мнимость k направит наш взор и в эту сторону, и наша прямая a станет носить на себе значимость четырехмерного пространства. И т.д. и т.д. Имея такое усложнение комплексов, мы уже реально обладаем и потенцией абсолютной целости, о которой говорило нам алгебраическое число, и всей бесконечностью пронизывающих друг друга становлений, о которой нам вещало число трансцедентное. Здесь уже решительно всякое становление из тех, которыми богата трансцедентность, превращается в фигурную выразительность, в «направление», в «измерение», понимаемое так конкретно, что его можно отождествить даже с соответствующими геометрическими образами. И здесь мы действительно получаем ту принципиальную числовую целость, которая дает нам представление о наглядно зримой числовой комбинации.

Это и есть т.н. гиперкомплексное число.

3.

a) Нужно сказать, что еще Гаусс, и притом еще в докторской диссертации 1799 г., предположил для некоторых уравнений необходимость корней не вещественных и не комплексных, но более сложных, о свойствах которых сам Гаусс, однако, отказался высказать какое-нибудь суждение. В начале 40-х годов к учению об этих новых числах пришли одновременно два математика, Г. Грассман и В. Гамильтон. Первый дал философско-математическое учение о многообразиях, в отношении которых геометрия должна быть только частным случаем; его два сочинения – «Учение о линейном протяжении» (1844 г.) и «Учение о протяжении» (1862 г.)[65]. Гамильтон еще в 30-х годах обобщал комплексные числа в том смысле, что изучал соотношения векторов в пространстве на манер соотношения векторов на плоскости, существовавшего для обычных комплексных чисел. В 40-х годах эта разработка продолжилась, и в 1853 г. вышло большое сочинение «Lectures on quaternions», где была дана теория т.н. кватернионов, т.е. комплексных чисел с четырьмя единицами (одной вещественной и тремя мнимыми), после чего мы имеем еще «Elements of quaternions» (1866)[66]. В дальнейшем кватернионами много занимались англичане, среди которых надо указать Моргана, Кэли, Сильвестра, Клиффорда и др. Кватернионы получили развитие в том смысле, что их стали привлекать для изучения взаимоотношения пар векторов в пространстве; возникли т.н. бикватернионы[67]. Отсюда возникло и т.н. винтовое исчисление[68].

b) В настоящее время эта теория гиперкомплексных чисел разрабатывается в двух науках.

Во-первых, можно брать такие мнимые единицы, произведение которых относится к тому же самому классу мнимостей, так что каждая единица является здесь не больше, как результатом линейного преобразования другой.

И можно, во-вторых, иметь в виду такие единицы, произведение которых создает новые неприводимые единицы.

Вслед за античными греками первое учение можно назвать линейными алгебрами и второе – всеобщей алгеброй.

Мы не станем входить в анализ этих дисциплин, а только ради образца коснемся кватернионов, входящих в первую из них, в линейную алгебру.

4.

a) Как показывает самое название, в кватернионе мы имеем дело с четырьмя единицами. Первой единицей здесь является вещественная единица, как и в обыкновенных комплексных числах. Три остальные единицы – мнимые с теми или иными коэффициентами; по Гамильтону. Они обозначаются как i, j и k, и весь кватернион имеет такой вид:

q = d + ia + jb + kc.

Вещественная единица и операции с нею ничем не отличаются от обычных вещественных правил, так что

12 = 1, i·1 = 1·i = i, j·1 = 1·j = j, k·1 = 1·k = k.

Что же касается мнимых единиц, то здесь сходно с обычными комплексными числами только общее их определение, т.е.

i2 = j2 = k2 = –1.

В этом смысле все, что в § 107 говорилось о мнимости как о квадратном корне из отрицательной единицы, остается и для кватернионов в прежней силе. Далее, однако, этим мнимым единицам принадлежит фундаментальное свойство, резко отличающее их от всяких других единиц.

b) А именно, этим единицам не свойственна коммутативность умножения или, точнее, с переменой порядка сомножителей произведение меняет свой знак на обратный, т.е.

j · k = i, k · i = j, i · j = k,

но при этом

k · j = –i, i · k = –j, j · i = –k.

Если не принимать интуиций, лежащих в основе кватернионов, то это свойство его мнимых единиц является вполне бессмысленным или по крайней мере необоснованным. В чем же, однако, тут дело? Дело в том, что мнимые единицы i, j, k противоположны друг другу не в области одного измерения (тогда, если i предполагает только плоскость, j и k тоже оказались бы на плоскости и отождествились бы с