Космос. Иллюстрированная история астрономии и космологии - Джон Норт

точны. Мы можем характеризовать его метод как аппроксимирующий только в том случае, когда предполагается, что он рассматривает наблюдательные данные, но здесь мы, скорее всего, недостаточно хорошо его понимаем. По сообщению Архимеда, Аристарх считал угловой диаметр Луны равным половине градуса. Зачем же он выбрал значение, превышающее эту величину в четыре раза? Это был оценочный метод, и из него с очевидностью следует, что Аристарх пробовал свои силы в установлении того, что мы обычно называем тригонометрическими соотношениями выбранных малых углов. Вне зависимости от того, как это было на самом деле, его метод, судя по приведенному здесь примеру, не может быть резюмирован в двух словах. Если заменить тригонометрические соотношения последовательными геометрическими процедурами, то общую стратегию его доказательства легко понять из пояснения к ил. 50. Худшее, что может сделать читатель, если он хочет составить представление о геометрических достижениях Аристарха, – это попытаться решить указанную проблему самостоятельно с помощью элементарных методов, не познакомившись, хотя бы вкратце, с приведенным здесь рисунком. Задача заключалась в том, чтобы выбрав в качестве исходных значений угловые размеры земной тени на расстоянии лунной орбиты, (равные) угловые размеры Солнца и Луны и отношение их расстояний до Земли, найти абсолютные значения всех расстояний в радиусах Земли.

50

Диаграмма Аристарха для абсолютных взаимных расстояний (или размеров) Солнца и Луны. (Для наглядности пропорции диаграммы сильно завышены.) Он считал установленными относительные расстояния, найденные ранее, и полагал, что нам известны угловые размеры тени Земли на лунном расстоянии (которые, в принципе, можно определить по временному интервалу между моментами вхождения Луны в земную тень и выхода из нее). Его пространное доказательство является демонстрацией применения скорее геометрических методов, чем истинных эмпирических параметров. Тригонометрические аргументы, используемые в нашем кратком изложении, только отдаленно воспроизводят применяемые им технические приемы. Рассмотрим углы, обозначенные на схеме α и θ, и два угла между ними, дополняющие их до прямых углов. Та же пара необозначенных углов вместе с углами p и q составляет два прямых угла, из чего следует, что (α + θ) равно (p + q). Угол α легко измерить (хотя Аристарх в своем трактате присваивает ему абсурдное значение 1°), а угол θ он полагает равным 2°, что в сумме дает 3°. Ранее он уже приводил аргументы, касающиеся отношения расстояний до Солнца и Луны («больше, чем 18, но меньше, чем 20»). Если применить часто используемое приближение, согласно которому малые углы пропорциональны их синусам (или тангенсам), то предыдущее высказывание будет равносильно утверждению, что значение p заключено между 18q и 20q, то есть 3° лежат между 19q и 21q. Примем в качестве средних значений (чтобы сократить рассуждение) q = 3°/20 и p = 57°/20. Тогда, если измерение ведется в земных радиусах, расстояние до Солнца (a) будет равно величине, обратной sin 0,15° (то есть около 382), а расстояние до Луны (b) – величине, обратной sin 2,85° (около 20,1). На самом деле, Аристарх не приводит итогового результата. Отсюда, следуя простым геометрическим операциям, можно получить размеры Солнца и Луны (в единицах радиуса Земли).

АПОЛЛОНИЙ И ПЕРЕХОД К ТЕОРИИ ЭПИЦИКЛОВ

Аполлоний из Перги (в прошлом Перга – сегодня обычно произносят «Перге» – античный греческий город на юге Малой Азии) жил во второй половине III – начале II в. до н. э. Он бывал в Александрии. Представляется сомнительным, что он (как шестью столетиями позже утверждал Папп) провел там долгое время, обучаясь вместе с другими учениками Евдокса, но не вызывает сомнений, что он был одним из величайших математиков греческой Античности, сопоставить с которым можно, пожалуй, только Архимеда. Его вклад в геометрию конических сечений (парабола, гипербола, пара прямых, окружность и эллипс) был примерно таким же, как вклад Евклида в элементарную геометрию. Он написал собственное сочинение (его бо́льшая часть основывалась на достижениях предшественников), опираясь на строгий логический метод. Кроме того, он показал, каким образом можно строить кривые, используя методы, очень близкие к используемым в современной аналитической геометрии. Чрезвычайная полезность этих методов в астрономии выяснилась в эпоху Кеплера, Ньютона и Галлея, каждый из которых скрупулезно изучал труды Аполлония.

Интерес Аполлония к астрономии подтверждается множеством косвенных упоминаний. По сообщению одного из авторов, у него было прозвище Эпсилон, поскольку эта греческая буква (ε) внешне напоминала Луну, изучением которой он занимался наиболее интенсивно. В другом источнике говорится, что, согласно его данным, расстояние между Луной и Землей составляет 5 миллионов стадий (около 0,96 миллиона километров), а это примерно в два с половиной раза больше реального. Другой автор, астролог Веттий Валент, расцвет его деятельности пришелся на 160 г. н. э., утверждал, что пользовался таблицами Солнца и Луны, составленными Аполлонием; однако, вероятнее всего, автором таблиц был его однофамилец. Но самое интересное упоминание, относящееся к его астрономическим изысканиям, связано с его теоремой из теории планетных движений. Согласно Птолемею, Аполлоний обнаружил связь между скоростью планеты, движущейся в эпицикле, скоростью центра этого эпицикла, обращающегося по кругу деферента, и двумя расстояниями на рисунке, отображающем положение, когда планета кажется неподвижной, меняя прямое движение на попятное. (См. пояснение этой терминологии в предпоследнем разделе предыдущей главы, где указанные представления были введены с некоторым опережением по отношению к занимаемому ими месту в истории.)

51

Иллюстрация теоремы Аполлония об эпициклическом движении

Описанная конфигурация изображена на ил. 51, где точка O – центр эпицикла, а P – планета. Последняя представляется неподвижной для наблюдателя, находящегося на Земле, обозначенной здесь точкой T. Движение точки P под прямым углом к лучу зрения TQ должно складываться из двух равных и противоположно направленных компонент: одна возникает в силу того, что планете передается скорость точки O, а другая является результатом ее вращения вокруг O и направлена вдоль касательной к эпициклу в точке P. Если разложить эти скорости, то, используя простейшие методы современной геометрии, можно легко получить доказательство следующей теоремы: отношение угловой скорости в деференте к скорости в эпицикле относительно отрезка OT равно отношению PS к PT. (Здесь PS является серединой хорды QP.)

Тот же самый результат можно получить с помощью метода пределов из классической геометрии. Это сделал Птолемей в «Альмагесте» спустя более чем триста лет. Вне зависимости от того, какой метод использован самим Аполлонием, представляется вполне очевидным, что он обладал навыком анализа движения в двух измерениях. Это довольно важно, поскольку если это так, то он был ключевой фигурой на первом этапе разработки идеи эпициклического движения. По утверждению Птолемея, когда он доказывал приведенные выше соотношения, он сделал это как для эпициклического (показано выше), так и для другого, эквивалентного ему представления, где планета движется по траектории, которую мы сегодня назвали бы подвижным эксцентрическим кругом.

52

Эквивалентность определенных типов эксцентрического и эпициклического движений

В эквивалентности этих моделей легко убедиться с помощью ил. 52, где сплошные линии обозначают эпициклическое движение, а пунктир – альтернативное представление. Забудем на время про пунктир. Для попадания в точку P из точки T нужно, очевидно, сначала переместиться в точку O, а затем – в P; или же сначала в точку E по отрезку TE, равному и параллельному отрезку OP, а затем в точку P по отрезку EP, который равен и параллелен отрезку TO. Равенство длин упомянутых здесь отрезков означает, что точки