Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Во-первых, доказательность и очевидность этих аксиом ничуть не больше, чем в тех положениях, которые вырастают на их основе. Вся математика, если ее строить так, как она строится в этом сочинении, т.е. чисто диалектически, одинаково состоит из суждений, возникших благодаря реализации соответствующих категорий. Иного ничего и не знает диалектика в этом своем состоянии, как только дедукцию категорий. Дедукция же потому и есть дедукция, что она дает положения, с логической необходимостью вытекающие из более общих положений. Поэтому какие бы математические суждения мы ни взяли, доказательность их с точки зрения диалектики совершенно одинаковая. Это все есть только реализация данной категории в суждении.

Во-вторых, разница между аксиомами и теоремами заключается только в том, что аксиомы суть первые логические построения, они предшествуют теоремам. Аксиомы есть реализация именно самых первых категорий, из которых вырастает число. И отсюда ясно, что граница между аксиомами и теоремами довольно зыбкая. Можно по-разному понимать, где кончаются первичные категории и начинаются вторичные. Мы – довольно-таки условно, хотя и не без обоснования, – остановились в предыдущем исследовании на категории энергии, считая то, что должно было бы быть выводимо дальше, уже вторичным и уже детализацией. Эта граница, конечно, могла бы быть отодвинута и дальше, и мы получили бы гораздо больше аксиом, чем в теперешнем случае.

В-третьих, не мешает знать, почему все-таки целесообразно ради конструирования числа как понятия остановиться именно на энергийно-выразительной стороне числа. Первые три диалектические момента числа, конечно, суть только весьма общая смысловая сфера. Тут сказано только то, что число есть некий раздельный в себе смысл, непрерывно становящийся. Этого мало и для всякой диалектики. Каждая вещь есть ведь не только смысл, хотя бы и становящийся, а первая диалектическая триада в нашем понимании есть нечто чисто смысловое. Каждая вещь есть еще именно вещь, факт, тело. Разумеется, число не может быть вещью в обычном смысле слова; оно строго отграничено от всего вещественно-качественного. Но это нисколько не мешает тому, чтобы эта категория вещи или факта осуществилась бы в недрах самого числа. При всей его чисто смысловой природе можно и необходимо различать в нем самом смысл и факт, идею и носитель этой идеи. Так вот, становящаяся единораздельная совокупность должна еще осуществиться как таковая, т.е. ее становление должно где-то иметь предел, оно должно остановиться и тем самым превратиться из неопределенно растекающегося смысла в устойчивый и данный в определенных границах факт. Поэтому ставшее в числе так же важно и конститутивно, как и становление. Без становления мы не имели бы в числе подвижной непрерывности, а без ставшего мы не имели бы в числе устойчивой прерывности. Можно ли мыслить число без моментов непрерывности и прерывности? Конечно, нет.

Следовательно, «ставшее», «факт», «вещь», или, как сказал бы Гегель, Dasein (наряду с Sein), является, несомненно, первичной категорией числа. Она первична в той же мере, в какой необходима категория факта для того, чтобы при обсуждении вещей мы не остались только с чисто смысловыми и отвлеченно-идеальными операциями.

Чего еще не хватает таким способом построенному числу? В нем есть смысл, идея, и в нем есть свой числовой факт, вещь. Сама собой напрашивается мысль, что всякая вещь не есть ведь просто нечто насквозь вещественное и совершенно никак не осмысленное. Если бы вещество было чистым веществом и не содержало бы в себе ровно никакой идеи и никакого смысла, такое вещество было бы совершенно немыслимо; это была бы абсолютно немыслимая, абсолютно неразличимая тьма иррациональности. Если бы мы высказали о нем хотя бы один только звук, то это уже было бы каким-то осмыслением вещества и это уже значило бы, что вещество не есть просто вещество, но что ему свойственно нечто идеальное. И так как реальные вещи именно таковы, что они суть нечто оформленное и осмысленное, а вовсе не сплошная иррациональность, то ясно, что реальная вещь есть соединение смысла, или идеи, и факта, или вещи. Если мы в числе увидим определенный числовой смысл и определенный числовой факт, то этим самым мы постулируем в числе и объединение того и другого, постулируем не просто смысл и не просто факт, но осмысленный факт, или осуществленный смысл. Вводя категорию энергии, мы как раз и имеем в виду всю эту область осмысленного факта числа, или осуществленного смысла числа. Едва ли есть возможность считать эту категорию не-первичной.

В сущности говоря, на этом мы и остановились в дедукции первичных категорий числа. Есть все основания думать, что это есть нечто действительно самое первичное и самое примитивное в числе и что тут самая естественная граница для определения основного и центрального от второстепенного и периферического.

В этой общей энергийно-выразительной области числа мы реально не останавливаемся на осуществлении какой-нибудь из трех основных категорий первой триады, но мыслим ее осуществленной целиком. Наша выразительная энергия числа энергийно выражает не только самый перво-принцип числа вообще, но и его раздельность и его становление. Числовое «ставшее» «выражает» всю смысловую триаду, включая и становление. А это больше всего и дает право называть всю эту выразительную область именно энергийной. Энергийно-выразительная сторона числа особенно важна включением этого момента становления. Становление (в данном случае пока чисто смысловое, без перехода в распадение) включает в себя неподвижную едино-раздельную структуру числа вместе с ее инобытием. Становление в диалектике ведь и есть синтез бытия и инобытия. Будучи перенесено в сферу выражения, оно в самом выражении дает синтез бытия и инобытия, т.е. выражение тем самым включает в себя свою соотнесенность со своим инобытием, не переходя, однако, фактически в это инобытие, а оставаясь все время чистым смыслом. Если бы тут был реальный переход в инобытие, это привело бы к распаду того, что тут выражено. Тут, однако, нет ни инобытия как факта, ни распадения смысла, а есть только смысловое же его распадение и различение, т.е. новый смысловой рисунок, новый – по сравнению с отвлеченно данной первой триадой.

Вот это-то обстоятельство и определяет собой то, что тут естественнее всего остановиться в последовательной дедукции диалектических категорий числа. Здесь число оказывается не только смыслом, не только фактом и не только осмысленным фактом, но этот осмысленный факт дан для иного, открыт для восприятия всем иным, в собственном смысле выражен. Осмысленный факт может ведь и быть дан просто, сам по себе, сам для себя. Это – начальная и наименее полная форма выражения. Когда же осмысленный факт оказывается данным и для иного,