Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

он в собственном смысле есть выражение. Он еще не распался на множество отдельных фактов, но покамест пребывает единым, цельным и нераздельным фактом. Однако этот факт расписан извне, разрисован и различен по своему смыслу, он – картина для всего иного. И вот поэтому-то естественно остановиться именно здесь, полагая в этом месте границу между основными, первичными категориями (аксиомами) и дальнейшими, вторичными категориями (теоремами).

В-четвертых, установивши эту наиболее естественную границу для аксиоматической области, мы можем установить и общую базу для дедукции всех основных аксиом. Эта общая база, сформулированная нами в предыдущем параграфе, должна быть сейчас дана в развитом виде. Заключается она в том, что аксиомы суть осуществленные категории, где каждая категория мыслится осуществленной на фоне общей сущности числа. Аксиома есть суждение, где данная категория, трактуемая как основная (границы основных категорий только что указаны нами), является предикатом для общего субъекта – числа. Поэтому шесть диалектических этапов числа, рассмотренных нами в § 21, должны превратиться в суждения (аксиомы) следующего типа:

I. Число есть чистый акт полагания.

II. Число есть едино-раздельный акт полагания.

III. Число есть становящийся акт полагания.

IV. Число есть ставший акт полагания.

V. Число есть выразительный акт полагания.

Сюда необходимо присоединить, что II суждение соответствует в § 21 II и III категориям, потому что установленные там утверждение (II) и отрицание (III) оба вместе определяют собой именно единораздельный акт (или акт как координированную раздельность). Соответственно III аксиома из указанных только что соответствует IV тамошней категории, IV аксиома – V категории, V аксиома – VI категории. Эта схема аксиом, с другой стороны, [есть] точное воспроизведение категориальной схемы в § 31, IIId.

Наконец, в-пятых, эта общая основа всех основных аксиом, получая таким способом более развитой вид, звучит все еще весьма отвлеченно, пока мы не примем во внимание чисто числовых свойств числа. Ведь «число», как оно фигурирует в установленных нами пяти основоположениях, взято все еще как отвлеченная, общедиалектическая категория. Число есть определенное понятие, а именно – понятие числа, и в этом виде мы его получили в нашей общей системе диалектики. Чтобы его конкретизировать, мы не оставили все категории, предшествующие числу, в их чистом, изолированном и общедиалектическом виде. Мы их локализовали на фоне общего и единого изучаемого нами в данном случае субъекта – числа и получили упомянутые пять основоположений числа. После этого пора, однако, для дальнейшей конкретизации перейти от числа как одной из общедиалектических категорий к числу как числовой, как математической, в данном случае – как общематематической категории. Число в виде общедиалектической категории интересно до тех пор, пока мы ищем ориентировать ее на фоне общей диалектики, т.е. когда пытаемся существенно отличить категорию числа от всякой иной категории. Но когда эта общедиалектическая категория числа найдена, изучена и формулирована, уже нет нужды останавливаться на ее общедиалектических свойствах; тут полезно перейти к числу в его уже чисто числовых, а не вообще в его категориальных свойствах. В этой плоскости определениями числа будет уже не та или иная диалектическая модификация актов полагания, но тот или иной числовой момент числа. Этот общедиалектический язык, где главное место принадлежит термину «акт полагания», должен быть заменен другим, уже чисто математическим языком; эта общая диалектика должна быть переведена на язык чисел. Мы должны поставить и решить вопрос: какие математические термины в точности соответствуют формулированным нами модификациям акта полагания и, следовательно, какие числовые конструкции возникают при воплощении указанных пяти основоположений, если всю нашу диалектику мы станем переводить с языка понятий на язык чисел?

Только теперь мы можем ставить и решать этот вопрос. Покамест мы не знали общедиалектического места числа и покамест мы не знали тайны общедиалектического сопряжения его категориально-конститутивных моментов, нечего было и думать философствовать в числовой области. В числовой области мы могли бы заниматься только чисто числовыми же операциями, т.е. строить не философию, а саму математику, поскольку числовая область, взятая сама по себе, есть чистая формальность и лишенность всякого понятийного содержания, и, оставаясь только в ней одной, мы ничего и не можем получить, кроме самих чисел, т.е. кроме самой математики. Теперь же, зная диалектический смысл числа вообще и диалектический смысл его конститутивных моментов, мы можем с твердой верой приступить к числовому содержанию числа и убежденно искать в нем соответствия тому, что мы получили относительно общей категории числа. Ведь общие законы логики везде одни и те же; и, твердо оперируя с ними в общелогической области, мы можем надеяться на твердое и уверенное оперирование с ними и в чисто числовой области. И это будет уже не просто построение самой числовой области, т.е. не сама математика, но именно логика числа, или философия математики, диалектические основы математики.

Так, из общей отвлеченной основы математической аксиоматики возникает сама математическая аксиоматика, и притом не просто в диалектической выведенности (чем необходимо было заниматься предварительно и что мы сейчас и выполняли), но и в своей чисто математической значимости.

B) СИСТЕМА

a) Аксиома числового перво-принципа

§ 36.

Неразличимость

Не будем, однако, удивляться, что аксиоматика начнется у нас с того, что как раз имеет меньше всего математический смысл. Поскольку сейчас нам предстоит формулировать аксиому именно перво-принципа, постольку эта аксиома должна иметь максимально обобщенный вид и постольку нам тут еще не придется употреблять терминов конкретной математики. Больше того. В этой аксиоме перво-принципа должно быть повторено – но уже в виде последнего резюме – то, что мы могли сказать о числе вообще наиболее существенного. Что это число относится к сфере актов чистого полагания, это есть самое последнее и самое общее резюме всего учения о числе. Это и должно быть в данном случае математическим перво-принципом. Из общесмыслового перво-принципа, который является перво-принципом и всякого содержания, мы выделяем чисто числовой, математический перво-принцип, гласящий о функционировании только актов полагания, а не самого полагаемого. И кроме того, этот перво-принцип, много раз формулированный нами выше, берется в своей тоже специфической функции. А именно, в математической аксиоматике мы рассматриваем его не как чистое действие, не как самый перво-принцип в его самостоятельной определяемости всех других числовых построений, но – перво-принцип как суждение, как первое и основное суждение в математике, лежащее в последней глубине всех прочих математических суждений. Поэтому мы здесь не просто фиксируем самый акт перво-полагания, но высказываем суждение: число есть чистый акт перво-полагания. Этим отличается аксиоматическое утверждение перво-принципа от того категориального, которое исследовалось выше.

Выставляемая нами