Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

Нетрудно заметить связь между теоремой о сумме внешних углов и теоремой о вращающихся касательных. На самом деле можно сформулировать комбинированную теорему, в которой кривая является гладкой всюду, кроме конечного числа крутых поворотов. Автомобиль, движущийся по извилистой дороге, который иногда вынужден делать крутые повороты, к моменту возврата в исходную точку совершит полный оборот на 360°.

Возвращаясь к исходному утверждению, мы можем спросить, как эти теоремы связывают две математические дисциплины. Они показывают, что топология в некотором смысле управляет геометрией. Тополог не может различить многоугольники и простые замкнутые гладкие кривые. Все они в его глазах являются окружностями. Тополог ничего не говорит об углах, прямолинейности, касательных векторах и т. д. Для геометра все многоугольники и все простые замкнутые гладкие кривые различаются, он описывает объекты в терминах вершин, кривизны и других характеристик. Теорема о сумме внешних углов и теорема о вращающихся касательных говорят, что гомеоморфность окружности полностью определяет одно геометрическое свойство — полный угловой недостаток фигуры. Как бы она ни изгибалась, ее полный угловой недостаток равен 2π.

Теперь мы рассмотрим, как обобщить эти две теоремы и получить формулу Декарта для многогранников и теорему об угловом избытке для поверхностей.

Возьмите квадратный лист бумаги, ножницы и клейкую ленту. Разделите бумагу на четыре квадранта и отрежьте один из них (этот кусочек пригодится в дальнейшем). Затем склейте обе стороны, по которым разрезали, — получится уголок прямоугольной коробки (рис. 20.4).

Рис. 20.4. В вершине куба полный угол равен 3π/2

Мы определили угловой недостаток в вершине многоугольника как величину, на которую ломаная отличается от прямой линии. Аналогично определим угловой недостаток телесного угла как величину, которой ему недостает, чтобы стать плоскостью. В нашем примере четыре прямых угла (2π) сходятся в центре листа бумаги, и один из них отрезан (осталось 3π/2). Поэтому угловой недостаток в вершине куба равен 2π — 3π/2 = π/2.

Возьмите еще один квадратный лист бумаги. Как и раньше, разделите его на квадранты. Сделайте один разрез от края к центру (рис. 20.5). Возьмите отрезанный ранее квадратик и приклейте две его стороны к краям разреза сложенного листа бумаги. В результате оказывается, что углов слишком много. Мы получили конфигурацию, напоминающую кирпичную стену, из которой вынут один кирпич. Полный угол при центральной вершине равен 5π/2, т. е. на π/2 больше, чем плоский угол. В этом случае говорят, что имеется угловой недостаток —π/2, или угловой избыток π/2.

У многогранника много вершин, и в каждой из них свой угловой недостаток (или угловой избыток). Для получения полного углового недостатка многогранника нужно сложить угловые недостатки во всех вершинах.

Рис. 20.5. В этой вершине полный угол равен 5π/2

Рассмотрим несколько примеров. В каждой из восьми вершин куба угловой недостаток равен π/2, поэтому полный угловой недостаток равен 4π. Четырьмя гранями тетраэдра являются равносторонние треугольники. Поскольку в каждой вершине сходятся три равносторонних треугольника, угловой недостаток в ней равен 2π — 3(π/3) = π. Всего вершин четыре, поэтому полный угловой недостаток равен 4π. Наконец, рассмотрим невыпуклый многогранник на рис. 20.6: большой куб, из которого вырезан маленький угловой кубик (представьте себе кубик Рубика с вытащенным угловым элементом). В вершинах с метками от 1 до 10 угловой недостаток равен π/2. Вершина 11 «обращена не в ту сторону», но угловой недостаток в ней тоже равен π/2. В оставшихся вершинах (12, 13 и 14) имеет место угловой избыток π/2. Таким образом, полный угловой недостаток равен 11(π/2) + 3(—π/2) = 4π.

Рис. 20.6. В этом невыпуклом многограннике полный угловой недостаток по-прежнему равен 4π

Теперь можно говорить о закономерности и высказать гипотезу о том, что полный угловой недостаток любого многогранника равен 4π. Это впервые заметил Декарт в неопубликованных записках «Об элементах геометрических тел», которые мы обсуждали в главе 9. В третьем предложении этих записок читаем:

Как в плоской фигуре [многоугольнике] все внешние углы, взятые вместе, равны четырем прямым углам [2π], так и в геометрическом теле [многограннике] все внешние телесные углы [угловые недостатки], взятые вместе, равны восьми прямым углам [4π]186.

Как указал Декарт, параллели с теоремой о сумме внешних углов очевидны. Как сумма угловых недостатков многоугольника равна 2π, так и сумма угловых недостатков многогранника равна 4π.

Слегка отличающийся вариант этой теоремы был заново открыт Эйлером и включен в его статьи о формуле для многогранников187. Эйлер доказал, что сумма всех плоских углов многогранника, имеющего V вершин, равна 2π(V — 2). Если формула Декарта обобщает теорему о сумме внешних углов многоугольника, то формула Эйлера — теорему о сумме внутренних углов. Легко видеть, что результаты Эйлера и Декарта эквивалентны. Полный угловой недостаток равен просто 2π V минус сумма всех плоских углов, или 2πV — 2π(V — 2) = 4π.

Разумеется, Эйлер и Декарт рассматривали только выпуклые многогранники. Но оказывается, что после небольшой модификации теорема применима ко всем многогранникам, даже топологически не являющимся сферами. Полный угловой недостаток — это топологический инвариант, имеющий простую связь с эйлеровой характеристикой многогранника.

Формула Декарта

Полный угловой недостаток любого многогранника P равен 2πχ(Р).

Куб, тетраэдр и куб с вырезанным уголком топологически эквивалентны сфере, поэтому их эйлерова характеристика равна 2, а значит, полный угловой недостаток равен 2πχ(Р) = 2π 2 = 4π. В качестве тела, отличного от сферы, рассмотрим многогранный тор, показанный на рис. 20.7. В нем шестнадцать вершин, в восьми из них угловой недостаток равен π/2, а в остальных восьми имеется угловой избыток π/2 (угловой недостаток —π/2). Поэтому полный угловой недостаток равен нулю — эйлеровой характеристике тора. Предлагаем читателю проверить формулу Декарта для бумажного многогранника из приложения A.

Докажем формулу Декарта. Пусть P — многогранник с V вершинами, E ребрами и F гранями, а T — полный угловой недостаток P. Мы должны показать, что T = 2πχ(Р) = 2πV — 2πE + 2πF.

Выберем любую грань многогранника. Предположим, что ее плоские углы равны a1…, an. По теореме о сумме внутренних углов:

a1 +… + an = (n — 2)π.

После перегруппировки членов получаем:

(a1 +… + an) — nπ +2π = 0.

Рис. 20.7. Полный угловой недостаток тора равен нулю

Это равенство можно наглядно представить следующим образом. Если написать —π на каждом ребре грани, величину угла