Критическое мышление. Как думать под давлением - Василий Николаевич Пимкин

Теорема Геделя о неполноте доказана в двух формулировках:

• слабая: любая система аксиом либо неполна, либо внутренне противоречива;

• сильная: понятие о полноте и внутренней непротиворечивости любой системы аксиом всегда лежит за пределами этой системы аксиом.

Все, братцы, расходимся. Достоверных знаний не только не существует – они и вовсе невозможны. Самое надежное, с чем мы можем работать, это допущения и гипотезы с ограниченными областями определения. С попытками продолжения следования стремлению философии и методологии науки работать с обобщенными универсальными категориями наметились большие проблемы. Говоря проще, конечность и ограниченность обобщенных подходов строго доказана. В работе с допущениями и гипотезами с ограниченными областями определения есть свои сложности, зато найденные таким способом решения могут представлять практическую ценность хотя и в узких контекстах, зато полезных здесь и сейчас. И даже в окрестностях этого «здесь» и в ближайшее время, пока не возникнет необходимость в новых допущениях и гипотезах. Это не так плавно и равномерно, как в общих научных методах, зато непосредственно полезно. С этим вполне можно жить, подходы к проработке гипотез мы рассмотрим подробно уже скоро.

Трудности исчисления истинности

Доказательство Геделя началось всего-то с парадокса лжеца. То есть, с попытки установить истинность утверждений «я лгу», «это утверждение ложно» или чуть более известной, но менее компактной формулировки Эпименида Критского, утверждавшего, что все критяне лжецы. В рассмотрении методами философии, строгость которой не так требовательна к точности, как математика, можно особенно не затрудняться скучными подробностями и остановиться на том, что истинность этих утверждений не может быть установлена. В строгом философском смысле эти несложные в обыденном понимании конструкции представляют собой парадоксы, неоднозначность которых можно применять в попытках решений самых непонятных задач. Любознательные читатели могут ознакомиться, например, с попыткой французского философа Жана Буридана применить этот парадокс для доказательства бытия Бога. Доказательства, конечно, никакого не получилось: его истинность установить так же невозможно, как и использованного в нем утверждения. Но попытка, безусловно, интересная. Хозяйке на заметку, между прочим, в умелых руках этот парадокс может стать инструментом создания мощнейших полемических аргументов.

Кстати, Жан Буридан был учеником Уильяма Оккама. И, что характерно, точно также ничего не знал о своем осле, как и Оккам о своей бритве. Занимательная тенденция: возможно, такое приписывание своих мыслей великим умам прошлого в те времена использовалось для придания большего веса своим интересным и смелым идеям. Вполне рабочая гипотеза, кстати. Это чем-то похоже на длившийся несколько веков обычай арабских поэтов приписывать свои стихи Омару Хайяму. Или на наследие барда Оссиана, и по сей день вполне серьезно воспринимаемое, несмотря на то, что Джеймс Макферсон признал, что написал все это сам, а не перевел с гэльского, как утверждал изначально. То есть факты правде не помеха, об этом полезно помнить. И даже возможно, что нет большой ошибки в том, чтобы воспринимать и «бритву Оккама», и «буриданова осла», и все прочие похожие нелепицы в качестве такой фольклорной милоты.

Это, безусловно, интересные трудности установления истинности, но не самые большие, и пока еще не совсем то, что нам нужно рассмотреть в этой главе. Да уж, строгость без точности – время на ветер, и трудности в заголовке здесь упоминаются отнюдь не напрасно.

В мире математической точности закон исключенного третьего действует абсолютно: все утверждения могут быть либо истинны, либо ложны, третьего не дано. Никакой вот этой лирики, что «утверждение бессмысленно» или что «истинность утверждения не может быть установлена». К своему доказательству Курт Фридрих Гедель пришел благодаря точному следованию требованию закона исключенного третьего, эффективно освобождающего от соблазна как-либо приспособить какие-либо парадоксы для извлечения какой-либо выгоды. Впрочем, еще раз заметим, за пределами требовательной к точности математики это вполне рабочий подход, освоить который уж точно не повредит, в полемике и искусстве переговоров особенно.

Вернемся, однако, к нашим баранам. В смысле, к основной проблеме исчисления истинности. Нужно срочно что-то сделать с разгулявшимся градусом метафоричности: в делах точности это совершенно определенно не помогает.

В математике после доказательства Геделя ничего особенно не изменилось. Конечность и ограниченность всякого рода областей определения были известны там давно, пользоваться ими постоянно и непрерывно – незначительное увеличение сложности. В философском мире это доказательство восприняли куда как тяжелее. Самую серьезную попытку оппонирования Геделю предпринял Людвиг Витгенштейн, одна из наиболее известных работ которого озаглавлена как «Логико-философский трактат». Упражнение по сближению философской строгости и логической точности весьма поучительное, но, собственно, в этом сближении ничего значимого не достигающее. Для философов уже слишком конкретно и грубо, а для математиков все еще слишком приблизительно и условно. Витгенштейн испробовал несколько подходов для полемики с Геделем: от попытки обоснования нерелевантности самой проблемы неполноты человеческому мышлению, не обязательно связанному с математикой, до вольных интерпретаций доказательства Геделя в качестве специфически математической проблемы. Закончилось все тем, что Витгенштейну пришлось согласиться с Геделем, предположившим, что Витгенштейн не вполне понял это доказательство.

Хорошей иллюстрацией здесь может быть то, что если характеризовать все творчество Мартина Хайдеггера одним словом, этим словом будет «поворот». Витгенштейн полемизировал и с Хайдеггером тоже. Дело там было в том, что один из них называл другого шарлатаном, потому что слишком общие рассуждения слишком отвлеченны и потому бессмысленны, а другой – потому что изначально бессмысленна попытка вести точное рассмотрение с помощью утверждений, истинность которых не может быть в полной мере установлена. Что характерно, кто из них что утверждал, не важно, так как и Витгенштейн, и Хайдеггер в своем творчестве совершили поворот, и в зрелом периоде опровергали себя же ранних. Это, пожалуй, все, что нужно знать о попытках установления истинности только средствами строгости без точности. Это немного примелькавшееся здесь чередование строгости и точности разбирается в небольшом докладе Мартина Хайдеггера «Что такое метафизика?».

Хотя в целом все это очень похоже на анекдот:

Царь Соломон ведет суд, стороны излагают свои аргументы ожесточенно и пространно. Время идет, нужно заканчивать и принимать следующих, а возможности примирения не видно даже вдалеке.

Соломон – одному: «Ты прав».

Другой: «Но, позвольте, как же так?»

Соломон – другому: «И ты прав».

Секретарь суда: «Но так же не бывает!»

Соломон: «И ты прав».

Нам остается только быть проще и прагматичнее, изучать и осваивать навыки проработки гипотез для решения задач здесь и сейчас, без попыток объять необъятное. Ни в рамках философии, ни в рамках научного метода.

Когда третье абсолютно исключено

Все