(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Рис. 5.22. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10?

Школьники дали много разных ответов, в том числе 36, 37, 38, 40 и 44. Это вызвало оживленное обсуждение. Я сказала, что мне нравится расхождение в ответах, поскольку это означает, что проблема интересная и нам есть о чем подумать и поговорить. После некоторого обсуждения класс пришел к выводу, что общее количество квадратиков на внешнем краю квадрата равно 36. Пока каждый ученик рассказывал, как он представляет число 36, я рисовала это на маркерной доске, и в результате у нас получился набор изображений, показанных на рисунке 5.23.

Рис. 5.23. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10? Показано визуально и с помощью цифр.

Пару занятий мы посвятили работе с квадратами разных размеров, рассказав школьникам, что для описания закономерности можно использовать переменную, и поэтому наши рассуждения можно применить к квадратам любого размера. Ученики видели край фигуры различными способами, которые можно выразить в виде эквивалентных алгебраических выражений, как показано на рисунке 5.24:

Рис. 5.24. Сколько квадратиков находится на границе квадрата 10 × 10? Показано визуально, с помощью цифр и с помощью алгебраических выражений.

Так школьники познакомились с алгеброй, и это занятие увлекло их – они узнали, что такое переменные и почему они полезны. Мы спросили учеников, каким образом они видят границу фигуры, и я зафиксировала на доске их зрительные представления, указав имена авторов: «метод Джоша», «метод Элизы» и так далее. Позже, когда мы перешли к квадратам другого размера, мы предлагали школьникам выбрать какой-нибудь метод (например, метод Элизы) и исследовать его. В процессе такой работы учащиеся обсуждали различающиеся способы видения и мышления, сотрудничая друг с другом и развивая чужие идеи. Важно, что представления учеников об алгебраическом обобщении были наглядными и красивыми. В итоге у нас набралось шесть различных, но эквивалентных вариантов для одного и того же математического выражения (4n – 4), и для каждого из них имелось наглядное изображение.

Когда ученики прибегают к алгебре для описания закономерностей, они используют переменные как язык для описания мира – и такое важное и полезное применение переменных имеет больше смысла, чем бесконечные примеры вычисления x210. Школьники видят закономерности и тем самым развивают ментальные модели для алгебры и обобщения211.

Один из самых красивых примеров визуального представления алгебры принадлежит женщине, которую я имела удовольствие учить в Стэнфорде в рамках образовательной программы для преподавателей. На занятиях по подготовке учителей я рассказываю о том, что математику можно преподавать как предмет с многоплановым подходом, используя визуальные и другие мысленные представления. Порой в слушателях зажигается искра, и они распространяют эти идеи на многие сферы своей жизни. Так произошло с Диаррой Буоссо, которая выросла в Сенегале, а сегодня использует линейные и квадратные уравнения для создания красивой одежды, которая продается в ведущих магазинах мира (Nordstrom, Shopbop, Stitch Fix и многих других)212.

Диарра давала интервью многим журналистам; ее история появилась в журнале Vogue, на CNN и в других СМИ213. В ряде интервью Диарра рассказывает, что она происходит из сенегальского рода ремесленников; она любит математику и поехала в США учиться в колледже, а затем стала аналитиком на Уолл-стрит. По ее словам, в те дни она не чувствовала удовлетворения, потому что любила и искусство, и математику и не могла выбрать между ними. Она не хотела целыми днями заниматься вычислениями, не имея возможности выражать себя в искусстве, и ровно так же не желала погружаться в сферу искусства, отказавшись от математики. Желание заняться чем-то вне рамок банковской работы привело Диарру в мой педагогический класс в Стэнфорде.

За год наших занятий Диарра познакомилась с визуальными, творческими, разнообразными версиями математики и была очарована ими. Однажды она отозвала меня в сторону и сообщила, что загорелась идеей использовать математические формулы для разработки дизайна одежды. Она полагала, что я отвергну эту идею как слишком «ботанскую».

Рис. 5.25. Дизайн одежды Диарры Буоссо, вдохновленный функциями из алгебры.

Рис. 5.26. Пример ученической работы с использованием графического калькулятора Desmos.

Вопреки ее ожиданиям, я ответила, что это звучит потрясающе. Диарра занялась дизайном красивой одежды, прибегая к линейным и квадратичным функциям; примеры приведены на рисунке 5.25.

Диарра говорит, что обучение в нашем классе помогло ей понять, что она может заниматься сразу и искусством, и математикой; это раскрыло ее творческий потенциал и обеспечило прекрасную самореализацию214. Она замечательная учительница, которая предлагает своим ученикам в старшей школе трансформировать алгебраические выражения в искусство (рис. 5.26). Чтобы наладить контакт со школьниками, она спрашивает их, как они проводят большую часть своего времени; оказалось, что ее ученики в среднем сидят в социальных сетях двадцать шесть часов в неделю, поэтому она встречается с ними и там. Получив разрешение директора, она завела аккаунт в Instagram[43] и использует функцию Instagram Stories, чтобы предлагать школьникам опросы и задания. 92 % учеников утверждают, что это идет на пользу их учебе. Они ценят возможность голосовать за ответы и любят получать одобрение своих работ. По словам Диарры, «игрофицирование математики с помощью платформы, которая у детей уже ассоциируется с развлечением, сделала предмет более доступным».

Диарра осознала, что ее ученики вовсе не ненавидят математику, как они поначалу утверждали; им просто не нравилось, как ее преподавали ранее. Сейчас Диарра выступает за глобальное чествование африканской культуры и страстно желает объединить миры математики и искусства, чтобы обеспечить студентам разнообразие подходов. Я горжусь тем, что сыграла некоторую роль в ее жизни, ведь ее творческие способности раскрылись благодаря изучению математического разнообразия215.

Когда математические задания предлагают ученикам мыслить исключительно численно, пропадают важные возможности – для развития связей внутри мозга, расширения доступа к пониманию, более глубокого вовлечения и мотивации, а также для строительства важных ментальных моделей. Я надеюсь, что в этой главе удалось продемонстрировать, что придать вопросу наглядность не так уж сложно: зачастую достаточно просто спросить слушателей: «Как вы это видите?» Когда учащиеся в ответ на этот вопрос делятся своими идеями, у них формируются важные ментальные модели, и они ощущают сопричастность к математике.

Увлекательная мыслительная задача для учителей или родителей, читающих эту книгу, – подумать, какие мысленные представления нужно развивать ученикам для ключевых математических понятий, входящих в их дисциплину.

Если ничего не приходит на ум, перед вами возникает интересная проблема: создать для учеников возможность визуализировать математику и взаимодействовать с физическими моделями идей.

Одна знакомая учительница старшей школы изменила свой традиционный подход. Раньше она приходила на урок, безупречно читала лекцию и заставляла учеников отвечать на однотипные вопросы. Она рассказала мне, как все изменилось в один прекрасный день: она просто обратилась к классу с вопросом, что школьники думают о ее заданиях. Ее поразило, с какой радостью ученики стали предлагать различные идеи. Вместе они перешли к содержательным беседам, где рассматривали, как работают различные методы, и рисовали изображения на доске. К монотонным лекциям она больше не возвращалась.

Точно так же в своей собственной преподавательской деятельности я демонстрирую уважение к мышлению учащихся и их стремлению к социальной вовлеченности – тем, что спрашиваю их, как они видят и понимают идеи. Я знаю, что мой самый значительный ресурс в классе – это мышление учеников.

Мой любимый метод ведения урока – дать визуальное представление для какой-либо математической темы и задать вопросы: «Что вы заметили? Что вас удивило?» Эти приглашающие слова, впервые предложенные Энни Фетер, можно использовать при обсуждении точек на карточках с числами; при обсуждении данных, когда мы предлагаем ученикам осмыслить данные реального мира и поощрить рост их грамотности в информационной сфере; а также при обсуждении геометрических чертежей216.