(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

важные визуальные и физические представления, но, когда школьников обучают алгоритмам, процесс осмысления, похоже, останавливается. Песек и Киршнер, исследовавшие явление, когда изучение правил приводит к неспособности мыслить по-иному, назвали его «когнитивной интерференцией»204. Когда ученики сначала знакомятся с алгоритмами, а затем учатся концептуально (на уровне идей), используя разнообразные способы окунуться в математику, их успеваемость ниже, чем у тех, кто учится исключительно концептуально. Оказалось, что изучение методов и правил мешает учащимся разрабатывать полезные ментальные модели. В главе 6 я вернусь к этому исследованию и расскажу о нем подробнее.

Школьники испытывают проблемы не только с делением, но и со сложением дробей, о чем свидетельствует один из вопросов Национальной оценки прогресса в образовании (NAEP)[42], предложенный тринадцатилетним американским школьникам. Когда их попросили приблизительно оценить сумму 12/13 + 7/8 (с вариантами ответов: 1, 2, 19 или 21), то чаще всего они давали ответ 19, а затем 21. Эти числа получаются при сложении числителей (19) или знаменателей (21). Всего 24 % учащихся выбрали правильный ответ: 2205. Если бы школьники умели применять ish-подход к такого рода заданиям, они бы увидели, что приблизительная сумма этих дробей равна 2.

Почему меня не удивляет, что учащиеся дают нелепые ответы? Когда школьники изучают дроби, они не думают о них концептуально или ish-способом; обычно они заучивают какой-то набор правил:

• Чтобы сложить дроби, приведите их к общему знаменателю и найдите сумму числителей.

• Чтобы вычесть дроби, приведите их к общему знаменателю и найдите разность числителей.

• Чтобы умножить дроби, перемножьте числители и знаменатели.

• Чтобы разделить дроби, перейдите от деления к умножению, поменяв местами числитель и знаменатель второй дроби (переверните и умножьте).

Все эти правила игнорируют самую важную часть понимания дробей: тот факт, что два числа – числитель и знаменатель – связаны между собой. При размышлении о дробях не важно, какого размера числитель или знаменатель; важно, как они соотносятся друг с другом. Когда мы просим учеников сделать что-то с числителем или со знаменателем, они забывают, что означает дробь. Когда школьники складывают 12/13 и 7/8, получая при этом 19, они не думают об отношениях между числами 12 и 13 или 7 и 8. Это происходит потому, что они не тратили время на рассмотрение дробей как единого целого, на осмысление числителя и знаменателя относительно друг друга; они не разработали ментальные модели дробей и не дали ish-ответы.

Я до сих пор помню вечер со старшей дочерью, которая в то время училась в пятом классе. Она испытывала трудности с дробями, и ее учительница сказала мне, что она просто «не может» понять их. Возможно, отчасти это было связано с отличающимся подходом к учебе, что некоторые учителя воспринимали как недостаток (к счастью, у нее были также и замечательные учителя, которые понимали, что думать по-другому – не значит думать неправильно). В тот вечер мы решили вместе разобраться с дробями, поскольку на следующий день ей предстояло сдавать тест. У меня было не так много времени по сравнению с тем, которое моя дочь потратила на изучение дробей в классе, но мы управилась за один час: я просто донесла мысль, что дочь всегда должна обращать внимание на отношения. Мы вместе визуализировали различные дроби и рассматривали их смысл, взаимосвязь между числителем и знаменателем. Прежде чем выполнять какие-либо операции, мы прикидывали общее значение дроби. Затем мы пробовали складывать, вычитать, умножать и делить, применяя к дробям ish-подход – оценивая, каким будет приблизительный ответ, прежде чем вычислять точный. Я вдохновляла ее увидеть общую картину и применение наглядных моделей, которые так важны для учебы (об этом я рассказывала в предыдущей главе). На следующий день дочка вернулась из школы с улыбкой до ушей и сообщила, что получила самый высокий балл в классе за тест на дроби. Такой ish-подход к дробям, учитывающий отношения и поощряющий учащихся строить ментальные модели, включен в мой бесплатный онлайн-курс для учащихся, который прослушали более миллиона человек206.

И дома, и в школе я привожу доводы в пользу другого подхода к дробям – который основан на осмыслении, на числовых соотношениях, на визуальном и физическом мышлении, которое приводит к мысленным представлениям. Я не заявляю, что от алгоритмов нет пользы; я утверждаю, что не следует рассказывать о них до тех пор, пока школьники не поймут дроби концептуально. Ученики должны уяснить, что такое дробь, и получить время на размышление о значении дробей как концептуального целого.

Деление дробей часто становится самой ненавистной темой учебной программы, на которую чаще всего жалуются и дети, и взрослые (хотя существует и другой претендент на звание Самой Ненавистной Области – алгебра). Но с этой темой можно справиться, если дать ученикам возможность разработать визуальные и физические модели, которые лежат в основе понимания. Например, если вас просят вычислить результат деления 1 на 3/4, вы можете перевернуть и умножить, получив правильный ответ: 1 × 4/3 = 4/3, но при этом вы практически не осознаете, что происходит. Или вы можете изобразить эту дробь, задав другой вопрос: сколько раз 3/4 помещается в 1?

Рис. 5.20. Визуальный подход к делению 1 на 3/4.

Взгляните на рисунок 5.20: мы видим, что 3/4 (темная часть) один раз помещается в целом (единице), и еще остается свободное место. Вы видите, что этого свободного места достаточно для трети нашей темной части. Следовательно, мы получаем ответ – 1 и еще 1/3. Итак, 3/4 помещаются внутри единицы 1⅓ раза. Визуальная модель процесса деления дроби, как и ish-подход, может отнять немного больше времени, чем переворачивание и умножение, однако это дает мысленное представление, которое может стать основой для дальнейшей работы с вычислениями и алгоритмами.

При делении дроби на дробь (то, чем большинство людей никогда после школы не занимались) я предпочитаю сначала сделать так, чтобы у обеих дробей был одинаковый знаменатель. Переход от дробей с разными знаменателями к дробям с одинаковым знаменателем – действие, которое фокусируется на отношениях, что очень ценно для учащихся. Предположим, что нам нужно разделить 3/4 на 2/3. Мы можем привести обе дроби к знаменателю 12:

Умножайте числитель и знаменатель каждой дроби на последовательные числа (при этом дробь остается той же самой), пока у обеих не окажется одинаковый знаменатель – в данном случае 12.

Теперь вместо того, чтобы 3/4 делить на 2/3, нам требуется 9/12 делить на 8/12. Применяя ish-подход к обоим вопросам, вы, вероятно, затруднитесь прикинуть ответ для деления 3/4 на 2/3, однако нетрудно сообразить, сколько раз 8/12 помещается в 9/12: ish-ответ должен оказаться немного больше 1.

Обучая этому детей, я бы изобразила 9/12, деленное на 8/12.

На рисунке 5.21 показано, что 8/12 помещается 1⅛ раза.

Этот визуальный подход к математике может применяться в любом классе, на любом уровне, в любой области и при решении любых задач.

Рис. 5.21. Визуальный подход к делению 9/12 на 8/12.

Алгебра

Впервые мы организовали летний лагерь для школьников после того, как узнали о пластичности мозга и его установках. За предыдущие пять лет появилось множество свидетельств, что понятия «математический мозг» не существует, что наш мозг постоянно развивается, укрепляется, строит связи207. Исследования доказывают, что важно верить в свой потенциал, иметь «установку на рост»208.

В местном школьном округе мы собрали 82 ученика, не особо друживших с математикой. Они по-разному учились, принадлежали к разным культурам и расам. Одни из них перед приходом к нам получили ноль баллов в тесте своего школьного округа; другие набрали очень высокие баллы; третьи показали промежуточные результаты.

Школьники были из разных классов: одни из них готовились к поступлению в седьмой, другие – в восьмой209. Мы решили, что наиболее полезным материалом для них будет алгебра. Мы знали, что при преподавании этого важнейшего предмета до учеников важно донести концепцию переменности и смысл понятия «переменная». Я выбрала одну из своих любимых задач, которая начинается с вопроса, сколько квадратиков находится на внешнем