(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Куб опускали в банку с синей краской. Мы спрашивали, сколько маленьких кубиков будут иметь 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 сторон синего цвета.

Это задание приводит к алгебраическим рассуждениям высокого уровня. Школьники получали кубики сахара размером 1 сантиметр и строили в своих группах кубы 4 × 4 × 4. Конструирование такого физического куба означало, что учащиеся активизировали различные пути в мозге, развивая области, которые отвечают за обработку числовой, визуальной и физической информации176. Год спустя я поинтересовалась у одного из школьников, Джеда, как лагерь повлиял на него. Ответ мальчика меня удивил. Джед сказал мне, что сейчас у него идет курс геометрии, и ему постоянно помогают воспоминания о том сантиметровом кубике сахара, который он держал в руках в нашем лагере. Он добавил, что помнит, как выглядел этот кубик, помнит физические ощущения от удерживания его в руке, и это дает ему представление, что значит «1 кубический сантиметр». Школьник объяснил, что возвращается к этому воспоминанию для решения многих вопросов по геометрии. Например, когда учеников попросили оценить объем их обуви, Джед вообразил себе, как его ботинок заполняется кубиками сахара размером 1 сантиметр. Сейчас я знаю, что Джед описывал тот вид «мысленного представления» («мысленного образа»), который Андерс Эрикссон и Роберт Пул называют критически важным для развития опыта177.

Эти мысленные представления необязательно должны быть физическими объектами, но для них требуется то, чего большинству школьников не предлагают на уроках математики. В следующих нескольких главах я опишу и расскажу о нескольких представлениях, которые могут оказать учащимся неоценимую помощь. Полагаю, что некоторые из них удивят вас.

Андерс Эрикссон, мировой эксперт в области опыта, изучал природу обучения у людей, добившихся высочайших результатов в самых разных областях, включая шахматы, спорт и школу. Вместе с Робертом Пулом они описали такое важное условие обучения, как «целенаправленная практика»178. Самое важное качество целенаправленной практики – возможность, которую она предоставляет для развития мысленных представлений. Второе важное качество – способность прилагать серьезные усилия. Эрикссон и Пул описывают это так:

Несмотря на то что образы, которые создает наш мозг, называются “мысленными”, только мыслить для их формирования недостаточно. Чтобы усовершенствовать мысленные представления о чем-либо, необходимо “обезьянничать”: повторять действия признанных мастеров, в случае неудачи пытаться понять, что пошло не так, пробовать снова – и так много-много раз подряд[39].

Мысленные представления

Эрикссон и Пул описывают мысленные представления на примере американского и обычного футбола (иначе именуемого соккером). Когда новичок смотрит на поле, в обоих случаях он наблюдает хаос в виде двадцати двух игроков, разбросанных по всему полю (рис. 5.1).

Но знаток футбола обнаружит закономерности, и эти закономерности помогут ему понять принципы игры и последовательность важных действий, как показано на рисунке 5.2.

Эрикссон и Пул отмечают, что новичкам движения футболистов «кажутся бессмысленными и хаотичными (если не считать очевидного стремления каждого игрока завладеть мячом)», однако для любителя или специалиста «происходящее на поле уже не кажется бессмыслицей. Он видит детально проработанную схему, которая постоянно изменяется в зависимости от передвижений игроков и мяча»179. Знатоки обладают хорошо развитой способностью интерпретировать модели поведения на поле.

Я и сама заметила это. Я выросла на английском футболе (соккере!) и с четырех лет сидела на трибунах стадиона «Хоторнс», где играет клуб «Вест Бромвич Альбион». В 1970-х годах я очень гордилась тем, что моя команда стала первой в истории, в которой играли три чернокожих игрока[40]. Мой клуб до сих пор продолжает продвигать ценности расового и культурного разнообразия в спорте.

Рис. 5.1. Футбольное поле с 22 игроками.

Рис. 5.2. Футбольное поле с 22 игроками, где показаны мысленные представления о моделях поведения.

Переехав в США, я много лет игнорировала американский футбол: меня немного забавляло, что футболом называется игра, в которой мяч ловят, бросают и держат руками. Однако в последние годы я заинтересовалась этим видом спорта – начав с просмотра команды Стэнфордского университета, а затем переключившись на матчи клуба «Сан-Франциско Форти Найнерс» и игры других команд. Когда я начинала смотреть американский футбол, расположение игроков не имело для меня никакого смысла; казалось, что для понимания происходящего нужно следить за большим количеством вещей – все выглядело хаотичной путаницей игроков. Постепенно я знакомилась с игрой и получала все больше удовольствия от нее; я не изучала какие-то факты или процессы, связанные с американским футболом, но научилась видеть закономерности, и эти модели теперь являются мысленными представлениями в моем сознании, которые позволяют мне смотреть матчи с осознанием происходящего.

Нейробиологические основы мысленных представлений

Эрикссон и Пул не единственные исследователи, пишущие о важности мысленных представлений или моделей. Когнитивистика (наука о мышлении) уже давно доказывает ценность ментальных моделей для обучения и производительности. Интересно, что сейчас это становится базовым выводом нейронауки: наш мозг функционирует, создавая модели мира. Невролог Джефф Хокинс посвятил свою карьеру изучению роли лобной доли головного мозга180. Эта часть мозга отвечает за когнитивные навыки, решение задач, функционирование на более высоком уровне и социальное взаимодействие – весьма широкий и критически важный набор умений. Хокинс обнаружил, что наш мозг работает посредством создания моделей мира, которые постоянно видоизменяются по мере того, как мы переходим от одного опыта к другому. Это согласуется с когнитивной наукой, показывающей ценность ментальных моделей для нашего обучения и понимания. Неудивительно, что учащимся необходимы ментальные модели, чтобы выстраивать мышление и знания, ведь именно так функционирует мозг не только в процессе обучения, но и в жизни.

Я начала эту главу с примера с моим учеником Джедом, который рассказывал, как важно ему было увидеть и подержать в руках кубик сахара размером 1 сантиметр. Ментальная модель Джеда была физической, и существует много доказательств того, что взаимодействие людей с физическими представлениями математических понятий крайне полезно для их учебы181. Но ученики и учителя могут также создавать визуальные представления, которые являются другой важной формой ментальной модели. Проведите мысленный эксперимент: вспомните, какие физические или визуальные представления вам предлагали создать в качестве ментальных моделей каких-либо математических идей. Если ваш математический опыт взаимодействия с числами и процедурами был типичным, то вы, возможно, не сможете вспомнить ни одного такого случая. Ведь для большинства людей математика – это почти целиком символьный, численный опыт. Если наглядность и появляется, то это нередко нарисованные издателями стерильные картинки, на которых изображены биссектрисы углов или круги, разделенные на секторы, которые не помогают ученикам развивать собственные визуальные или физические модели математических понятий. Я надеюсь, что оставшаяся часть этой главы будет особенно полезной для взрослых людей, у которых было мало возможностей для развития ментальных моделей математических идей (или не было вообще).

Когда исследователи сравнивают мозг математиков с мозгом успешных ученых, работающих в других областях, они обнаруживают нечто интересное. Можно было бы предположить, что, когда люди думают численно, они думают «языком» и что для математических рассуждений высокого уровня задействуются области мозга, обрабатывающие языковые данные. Однако исследователи обнаружили, что активность мозга, которая отличает математиков от других ученых, относится к областям, работающим с визуальными данными, вне зависимости от математического содержания182. Не только геометрия и топология, но и алгебра, и другие вычисления вызывают активность в зрительных структурах мозга, при этом все языковые области вовлекаются минимально. В результате ученые предложили следующее объяснение: достижения математиков обусловлены ранним детским опытом работы с «числом и формой», и я бы добавила, что это, вероятно, помогло им развить мысленные представления математических