(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

примеров разбивали числа на части и составляли их по-другому. Поскольку группитизация – это как раз и есть разбиение чисел на части разными способами (смотрите главу 5), то неудивительно, что дети, научившиеся группитизировать, также развили гибкость в работе с числами.

Концептуальный подход к числам, который применяли отличники и на который способны все мы, часто предполагает отход от детальных методов, таких как сложение, и сосредоточение на какой-то более масштабной идее или концепции. Один из способов помочь всем ученикам развить концептуальный и гибкий подход к числам – предложить им рассматривать числа на уровне идеи и использовать ish-подход к своей работе.

Проблема со стандартами

В разгар глобальной пандемии COVID–19 мне позвонили из Управления образования штата Калифорния и спросили, не могу ли я помочь учителям, работающим в условиях локдауна, – выделить более важный математический материал, который школьники обязательно должны усвоить. Совет по образованию штата признал, что пандемия сильно усложнила преподавание и учителя перестали справляться со всеми отдельными изолированными стандартными темами, которые требовалось доносить до учеников. Я считаю, что вне зависимости от обстоятельств учителя не могут дать не на поверхностном уровне тот огромный объем материала, который входит в программы. Я не встречала ни одного учителя математики, который бы не считал, что в его курс запихнули слишком много.

На момент звонка я уже являлась одним из авторов новой концепции образования в штате, а также выполняла свои обычные обязанности профессора и содиректора нашего центра Youcubed, так что мне самой не хватало времени. И все же я откликнулась, поскольку увидела идеальную возможность помочь калифорнийским учителям перейти к связному и концептуальному подходу.

В прошлом какие-то организации уже пытались помочь учителям справиться с чрезмерным объемом материала, изложенного в стандартах, – путем сортировки его по важности. Я отказалась от такого подхода. Вместе с Кэти Уильямс, сооснователем центра Youcubed, мы реорганизовали в детском саду и 6-м классе. стандарты в набор взаимосвязанных, последовательных, крупных (масштабных) идей221. На рисунке 6.2 приведены примеры для детского сада и 6-го класса.

Рис. 6.2. Математика как взаимосвязанные крупные идеи

Когда учителя сосредоточены на масштабных идеях, а не на мелких методах, учащиеся получают доступ к концептуальному пониманию, а более узкие темы изучаются в рамках более широких.

Комитеты по математике по всему штату рассмотрели нашу идею реорганизации материала в крупные идеи, и в мае 2021 года Совет по образованию штата Калифорния единогласно ее одобрил. Этот подход также стал центральной частью новой программы California Mathematics Framework, которую единогласно утвердили в июле 2023 года.

Национальный исследовательский совет – важная часть Национальной академии наук; он дает рекомендации по политике в сфере образования, а также за ее пределами. Когда группе ученых поручили изложить результаты исследований в области обучения в книге для педагогов, они сделали следующее заключение:

Поверхностный охват всего существующего в какой-либо области следует заменить углубленным изучением небольшого количества тем; это позволит понять ключевые концепции этой дисциплины. Конечно, нет необходимости полностью отказываться от стремления охватить всё. Однако требуется сделать акцент на детальный анализ основных тезисов, чтобы учащиеся могли усвоить определяющие понятия в конкретных областях какой-либо дисциплины222.

Красота преподавания и изучения нескольких взаимосвязанных крупных идей заключается в том, что учителя и родители располагают бо́льшим количеством времени для погружения в каждую из них. Когда учащиеся глубоко окунаются в математические концепции, они изучают ту же самую математику, но вместо того, чтобы осваивать разрозненные методы по кускам, они изучают определенное множество связанных идей и методов с помощью разнообразных заданий. Этот подход изложен как в программе California Mathematics Framework 2023223, так и в наших книгах для программы К–8224.

С вышеизложенными советами по обучению хорошо согласуется предположение нейробиолога Джеффа Хокинса, каким образом мозг хранит знания и информацию. Ученый утверждает, что мозг упорядочивает все знания с помощью опорных точек – они расположены в нашем мозгу, как большие города на карте225. Они помогают нам понимать, где мы находимся и что нам нужно сделать, чтобы перейти от одной области знаний к другой. Часто такие опорные точки имеют визуальные представления, которые мы можем увидеть или вообразить. Хокинс приводит пример с ДНК. Если вы изучали генетику, то при упоминании ДНК в разговоре ваш мозг, скорее всего, представит себе двойную спираль, которая может расцепляться. Вы никогда не видели молекулу ДНК, но ваш мозг создал некую систему координат для этой области знаний, которая помогает в их организации.

Если люди учатся эффективно, они создают такие опорные точки. Они не просто хранят факты в общей куче, а соотносят свои знания с более крупными концептуальными системами координат. Наша рекомендация – помочь учащимся глубоко и качественно усвоить набор крупных идей, чтобы они послужили системами координат, способными упорядочить знания всех учеников.

Когда учителя просят у меня совет по качественному преподаванию (несмотря на наличие длинных списков материала, который требуется изложить, обязательных тестов и несвязных вопросов из учебников), я говорю следующее: если ученики основательно усвоят примерно восемь крупных концепций на уровне своего класса, изученное послужит фундаментом для всего, что они будут осваивать дальше. Это же я посоветовала бы всем, кто желает изучить что-то новое. Вместо того чтобы фокусироваться на мелких деталях, рассмотрите картину в целом: что на самом деле означают они и как связаны друг с другом? Иногда за деталями скрыты важные понятия.

Такой концептуальный подход к материалу полезен учащимся, которым нужно выучить и запомнить термины по какой-либо теме. Кэти Уильямс – сооснователь и содиректор центра Youcubed – ранее работала в управлении округа, а до того в старшей школе, где преподавала математику и вела программу AVID, предназначенную для подготовки школьников к колледжу (особенно социально незащищенных). Она вспоминает, как к ней пришли растерянные ученики, ошеломленные различными понятиями, которые им требовалось зазубрить. Когда они объяснили ей, что им нужно запомнить митохондрию, ядро, рибосому и цитоплазму, она предложила им написать и визуализировать какую-нибудь осмысленную историю, которая как-то связывала бы эти термины. Это помогло школьникам проникнуться идеями и перейти от заучивания и концентрации на деталях к концептуализации и общей картине226.

Математические связи

Еще одна цель нашей работы по заказу штата – представить математику в виде набора взаимосвязанных идей. Если вы попросите любого вдумчивого математика описать этот предмет, он назовет небольшое количество важных идей и множество связей, аналогичных сетевым картам, изображенным на рисунке 6.2 (с. 196), и опорным точкам, описанным нейробиологом Джеффом Хокинсом. Но когда за материал берутся авторы стандартных программ, они режут эту карту на крохотные кусочки, которые затем передают учителям в виде сотен стандартов для учебных программ. Неудивительно, что школьники считают математику бессвязной дисциплиной; именно так ее преподносят учителя. Те же самые не соединенные между собой мелкие стандарты авторы учебников берут за основу при составлении вопросов. В своей работе для штата мы не только изложили крупные математические идеи, но и продемонстрировали отношения между ними, возвращаясь к взаимосвязям между различными концепциями, которые показывают, как идеи могут развиваться на основе друг друга.

Джим Стиглер, психолог из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, исследует, как специалисты хранят свои знания. Он и его команда подчеркивают важность концептуального понимания, мысленных представлений и связей между ними для достижения экспертного уровня знания227. Авторы работы указывают, что когда люди извлекают из памяти и пытаются применить знания, не связанные с другими понятиями (например, отношения между частью и целым), то решение проблемы затормаживается, и они сдаются. В то же время, если человеку со связными знаниями задали какой-нибудь вопрос о пропорции, а он помнит арифметические операции, он сумеет без проблем найти ответ.

Сара Нолан – учительница четвертого и пятого классов из Калифорнии – входила в группу преподавателей, работавших со мной и моей командой в Стэнфорде. Идея преподавания