(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Youcubed – роскошь, которую могут себе позволить немногие учителя249. В то лето мы поставили себе цель учить, опираясь на подход, основанный на крупных идеях и связях, создавая многочисленные возможности для изучения анализа через мысленные представления. Нашу работу осложняло (но и делало более интересной) то, что одни учащиеся изучали анализ в школе на высоком уровне, а другие не имели с ним дела вообще. Различия в мышлении и понимании людей – это проблема, с которой сталкиваются все преподаватели, вне зависимости от того, на каком уровне они преподают или в какой степени школы группируют учащихся по предыдущим результатам. Все ученики разные, и я рассматриваю это различие как замечательный ресурс для создания стимулирующей среды преподавания и обучения.

В главе 3 я рассказывала о Стиве Строгаце, специалисте по прикладной математике из Корнеллского университета, который посвятил большую часть своей жизни и работы тому, чтобы делиться красотой математики со своими учениками и другими людьми250. Одна из целей Стива перекликается с моей – рассказывать о математике как о предмете из понятий и крупных идей. Стив занимается этим и многим другим в своей книге о математическом анализе под названием «Бесконечная сила»251. Если вы знаете кого-нибудь, кто изучает или преподает анализ, рекомендую вам рассказать им об этой книге, поскольку она дает читателям то, чего не найти во многих курсах анализа, – концептуальное представление о масштабных идеях. Вот что Стив говорит о больших идеях – в противопоставление типичным методам изучения анализа:

К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему. Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений.

Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа, – и концептуально, и исторически[45].

Интересно, что Стив упоминает масштабную идею бесконечности, указывая, что с нею знакомы все специалисты, но при этом отмечает, что он никогда не видел, чтобы в курсе анализа ее выделяли. Я готова поспорить, что все специалисты не только знают эту идею, но и имеют мысленные представления, которые сразу же приходят на ум, когда они размышляют о крупных идеях в анализе.

Когда будущие студенты Стэнфорда пришли к нам на летние занятия анализом, стало ясно, что их знакомили не с этой идеей и не с концептуальным представлением, а с методами, правилами и процедурами. Мы с командой решили предложить учащимся крупные идеи анализа, полагая, что это будет полезно даже для тех, кто уже проходил курс анализа в школе, поскольку обеспечит те концептуальные рамки, в которые они смогут поместить свои знания методов и правил, и даст им столь необходимые возможности для развития мысленных представлений и видения математических связей. Ну, а для тех, кто никогда не изучал анализ, такой подход обеспечит доступное и осмысленное знакомство с его идеями. Труд Стива мы использовали в качестве учебной книги, а его главы помогли нам спланировать занятия, посвященные крупным идеям. Стив описывает масштабную идею анализа следующим образом:

Таким образом, анализ действует в два шага: разбиение и восстановление. С математической точки зрения первый всегда включает бесконечно малое вычитание, используемое для оценивания разницы между частями.

Соответственно, эта часть предмета называется дифференциальным исчислением[46]. Второй шаг – процесс сборки – всегда включает бесконечное сложение, объединяющее части обратно в единое целое. Эта часть предмета именуется интегральным исчислением[47] 252.

Чтобы побудить учеников задуматься над крупной идеей разрезания на мелкие части и восстановления целого (а также создать ментальные модели для этого процесса), мы адаптировали урок, который я наблюдала в школе Рейлсайд. Мы предложили ученикам придумать методы для нахождения объема лимона. Одно из основных применений анализа – нахождение объемов сложных криволинейных тел253. Ранее при изучении анализа учащиеся могли рисовать фигуры, но нынешнее задание дало им возможность подержать сложное тело в руках и внедрить идеи анализа в собственное построение ментальной модели для этого тела. Мы разделили учеников на группы, выдали каждой группе по лимону и предложили им поэкспериментировать с нахождением объема этого плода, предоставив некоторые инструменты для работы – нож, разделочную доску, вазы с водой, нитки, электронные штангенциркули, массу для лепки Play-Doh, транспортиры и линейки254.

На рисунке 6.8 представлены некоторые из идей, предложенных учащимися для определения объема лимона.

Когда будущие студенты изучали тем летом основные идеи анализа, им понравилось наличие в руках физических моделей, реальных объектов, таких как колеса и снежинки, и применение методов, которые многие из них уже изучали в школе. Одна из учениц, София, объясняла:

Первой задачей, которая действительно открыла мне глаза, стала задача о лимоне. Моя группа весьма творчески осмыслила три использованных нами метода, и физические манипуляции с лимоном помогли мне понять, почему разные методы хорошо работают.

Но в конце, когда мы обсуждали задачу всем классом, я осознала, что все решения моей группы, по сути, просто разные способы выполнения суммирования и интегрирования. Тогда я впервые увидела формулу интегрирования и график, и они действительно обрели для меня смысл. С тех пор у меня высокие результаты в классе. Сейчас мне кажется, что если я очень постараюсь и буду думать достаточно креативно, то смогу разобраться в чем угодно255.

Рис. 6.8. Различные методы визуализации суммирования и интегрирования.

Работа с лимоном и знакомство с математическим разнообразием подтолкнули эту девушку к важной мысли, что она может научиться чему угодно, что позволило ей показывать «высокие результаты» на других занятиях. В ответе Софии также прослеживается важный подход к преподаванию, о котором я расскажу в следующей главе: учащиеся исследуют идеи, а затем в ходе дискуссии, в которой участвует весь класс, преподаватель предлагает методы, идет поиск связей, обсуждение и осмысление.

Некоторые студенты считали использование физических объектов, которые мы выдавали им для воплощения идей анализа (лимоны, мячи, снежинки и минибайки)256, «элементарной» вещью, но все равно отмечали, что этот опыт позволил им глубже вникнуть в те понятия, с которыми они раньше сталкивались только в виде формул для запоминания257. Еще один будущий студент, Алек, рассказал нам, что раньше предполагалось, что он просто «примет истину» математических идей; теперь же «возня с блоками, веревками и лимонами, как в начальной школе», позволила ему по-настоящему разобраться в материале. Это помогло ему развить концептуальное понимание крупных идей анализа и овладеть ими.

⁂

Я всегда радуюсь, когда меня зовут в какую-нибудь школу, но недавно я получила особенно примечательное приглашение. Оно поступило от Джулии Шоу, энергичного директора школы, работающей по программе K–7 International Baccalaureate. Школа Сенпокчин, открытая для всех, находится в канадской резервации для коренного населения и в основном обслуживает народ нкмип – одну из семи племенных групп на традиционных землях народа оканаган, расположенных в окрестностях города Келоуна в Канаде258. В ходе нашей переписки по электронной почте я уже уяснила, что Джулия – человек с установкой на рост, однако убедилась в этом, когда отменили рейс, которым летели мы с Кэти Уильямс. Джулия бросилась искать другие маршруты, авиакомпании и машины. К счастью, вопрос решился, и на следующее утро мы прибыли в школу, взволнованные и польщенные тем, что нас включили в программу занятий.

Утро началось с барабанной дроби – церемонии, в которой ежедневно принимают участие разные ученики, преподаватели и члены общины; наблюдает за ней вся школа. Руководитель общины Кларенс Луи пообщался со мной после нашего приезда и теперь с гордостью наблюдал, как барабанили школьники. День в Келоуне выдался холодным, но это, казалось, никого не смущало, поскольку ученики