(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

В классе с традиционным подходом учащиеся отрабатывают содержание без смысла, разнообразия или сложностей; преподаватель не поощряет разработку репрезентативных моделей; а та обратная связь, которую подразумевает тестирование, – просто тупая оценка, не дающая информации о путях совершенствования. К счастью, мы можем добиться гораздо большего, и, когда мы это делаем, студенты преуспевают266.

Пример математического разнообразия

Когда я собралась получать степень PhD[48] в Королевском колледже Лондона, я знала, что хочу исследовать. Последние два года я училась в магистратуре, изучая преподавание математики: днем работала в одной из лондонских средних школ (7–12-е классы), а вечером занималась на курсах. Я чувствовала себя готовой к сложностям получения степени PhD и подала заявку на участие в одной из программ финансирования; конкуренция там была острой, но в случае удачи я получала грант, который позволил бы мне исследовать методы преподавания и изучения математики. Через несколько месяцев я узнала об успехе и решила оставить работу учительницы и на несколько лет снова стать полноценной студенткой.

В своей заявке я изложила план исследования двух различных подходов к преподаванию и изучению математики и сбора данных об эффективности каждого из них. Я обратила внимание, что о методах преподавания математики много спорят, однако в этой сфере имеется очень мало научных данных. Я решила внести свой вклад в эту область, обогатив ее фактами и доказательствами. В течение следующих трех лет я наблюдала за когортой[49] школьников с 13 до 16 лет (окончания обязательного школьного образования в Великобритании). Эти подростки учились в двух разных школах, которые походили друг на друга в отношении успеваемости и демографической ситуации, но сильно различались по методам преподавания математики. Я провела сотни часов в классах этих школ, собирая множество данных, включая наблюдения за классом, беседы с учителями и учениками, оценки понимания учениками материала и анализ результатов экзаменов267. Это детальное исследование того, как различные подходы к преподаванию влияют на обучение, получило награду Британской ассоциации педагогических исследований (BERA) за лучшую диссертацию PhD в области образования в Великобритании.

В одной из школ (которую я назвала Амбер-Хилл) учителя практиковали типичный подход к преподаванию математики, когда преподаватель объяснял школьникам методы, а ученики затем отрабатывали их, решая задачи из учебника. Школьники нарабатывали сотни часов практики, а преподаватели, обладавшие высокой квалификацией, всегда были готовы помочь и поддержать. В другой школе (которую я назвала Феникс-Парк) учителя знакомили детей с идеями и разными видами деятельности; давали им возможность исследовать эти идеи; вовлекали в обсуждение всем классом, в ходе которого идеи развивались и увязывались между собой; потом преподаватели подводили итог268.

Например, учащиеся школы Феникс-Парк изучали тему «геометрическое место точек» (ГМТ). В математике это понятие определяется как множество точек, обладающее определенным свойством. Такой математический инструмент полезен в исследовании отношений между точками, линиями и кривыми. Он используется, когда требуется прогнозировать и анализировать биологические или социальные системы в науке и других областях. Дети в школе Феникс-Парк начали изучать эту тему с рассмотрения одиночных точек, а затем перешли к пониманию того, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной, – это окружность.

В обычных американских учебниках понятие ГМТ вводится в виде определения, после чего школьники решают узкие задачи. Преподаватели Феникс-Парка знакомили учеников с этим понятием, выводя их на игровую площадку и расставляя определенным образом. Сначала детей попросили встать на расстоянии 5 метров от учителя, и ученики увидели, что получается окружность.

Затем понятие расширили: учеников попросили встать на расстоянии 5 метров от прямой, потом на равных расстояниях от двух разных точек. Они провели целый урок, размышляя над понятием ГМТ и экспериментируя с идеярассказывают про ГМТ. ми на физическом уровне через движение. В Феникс-Парке учеников не разделяли по результатам, а предлагаемые задачи всегда обладали достаточной открытостью, чтобы ученики могли думать в разных направлениях – в зависимости от своих знаний и понимания. Для одних учеников это задание стало возможностью поразмыслить о фигурах и симметрии, для других – узнать о Пифагоре, для третьих – познакомиться с директрисой параболы.

Рис. 7.1. Пример того, как в школе Феникс-Парк

Может показаться, что на изучение понятия, которое вполне можно проиллюстрировать рисунками в учебнике, тратится слишком много времени, однако исследования демонстрируют, что ценность восприятия математических идей через физические движения огромна; таким мощным мысленным представлениям, которые следует выстраивать для всех математических понятий, посвящены целые книги и номера журналов269. Например, в одном исследовании наблюдали за тем, как ученики изучают отрицательные числа, складывая бумагу (рис. 7.2):

Рис. 7.2. Складывание бумаги для демонстрации отрицательных чисел.

Исследователи обнаружили, что физические манипуляции с бумагой позволяли учащимся развивать мысленные представления целых чисел. Это привело к тому, что учащиеся продемонстрировали более высокие результаты не только в тестах на отрицательные числа, но также в тестах на дроби и алгебру270.

После того как ученики Феникс-Парка познакомились с концепцией ГМТ на игровой площадке, их попросили отработать идеи в домашнем задании. Школьникам предложили изобразить путь, который опишет точка, нарисованная на круглой картонке, если эту картонку прокатить по ровной поверхности. Также им предложили подумать о движении точки, нарисованной на треугольнике, квадрате и фигуре по их собственному выбору, и проследить, как меняется путь точки, если менять ее положение на фигурах.

Подобная деятельность важна для учеников школы Феникс-Парк по многим причинам (например, из-за ее ish-ности и разнообразия), но я бы хотела акцентировать ваше внимание на многоплановой природе таких упражнений.

Это домашнее задание не предполагало монотонной работы над одинаковыми вопросами; от школьников требовалось применить свое понимание к разным фигурам. Это не только означало практический характер работы, но и подразумевало ее сложность – следовательно, школьники боролись, прикладывали усилия. Такой практике присущи и другие важные аспекты: когда ученики рисовали ГМТ для треугольника и квадрата, они работали с тем, что исследователи назвали «контрастирующими примерами».

Видеть больше

Сара Левин и Дэн Шварц, мои коллеги по Высшей школе образования Стэнфордского университета, рассказывают о важности контрастирующих примеров для развития компетентности. Например, вы можете попросить людей описать предмет, изображенный на рисунке 7.3.

Рис. 7.3. Ножницы.

Большинство из них ответит, что это ножницы.

Но если вы попросите их описать два предмета на рисунке 7.4, они, вероятно, скажут, что слева – короткие ножницы с пластмассовыми ручками, не очень острые, с затупленными концами; возможно, детские ножницы. Про ножницы справа они могут сказать: длинные заостренные ножницы с упором на одной из металлических ручек271. Такие подробности появляются в наблюдениях только потому, что на рисунке даны контрастирующие примеры.

Рис. 7.4. Двое разных ножниц.

Этот принцип можно применять ко многим жизненным ситуациям, включая, конечно, математику.

Если вы попросите школьников описать фигуру на рисунке 7.5, они, скорее всего, скажут, что это треугольник.

Но если вы попросите их описать фигуры на рисунке 7.6…

Рис. 7.5. Треугольник.

Рис. 7.6. Два разных треугольника.

…то они, вероятно, скажут, что фигура слева – равносторонний треугольник, или треугольник с тремя примерно равными сторонами и примерно равными углами, а фигура справа – это равнобедренный треугольник, или треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами, и он отличается от треугольника слева. Разумеется, при рассмотрении контрастирующих примеров важно не только произносить слова, но и размышлять, что стоит за этими словами. Исследователи обнаружили, что изучение контрастирующих примеров значительно повышает уровень понимания учащихся272.

Еще один пример иллюстрируют два сценария ниже: контрастирующие примеры для них взяты из двух областей математики, которые часто вызывают затруднения у школьников: проценты и дроби. Важно, что эти вопросы касаются концептуальной идеи, а не вычислений.

Рис. 7.7. Кто из двух девочек получает больше денег на карманные расходы? Дайте