(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

рассказывали родителям о своих значимых проектах, выполненных в течение учебного года. Многие из учеников выбрали математический проект – задачу о сбережении воды. Когда я общалась со школьниками после их презентаций, мне было приятно услышать, как они рассказывали о различных важных для них аспектах проекта. Многие отметили, как полезно рассматривать что-то реальное из окружающего мира. Они говорили о том, как узнали, что математика – это поиск закономерностей и это необходимо для их развития, и о том, насколько ценной является совместная работа в группах. Но что меня действительно поразило, так это восторженные рассказы школьников, каким образом их пригласили в собственное учебное путешествие – овладевать метакогнитивным подходом (смотрите главу 2). Нэнси добилась этого важного результата с помощью нескольких педагогических приемов.

Во-первых, она дала ученикам описание процесса обучения – цикл моделирования, показанный на рисунке 7.15, который направлял их в работе и учебе. Многие школьники отметили, что взгляд на эту модель помогал им в процессе обучения. Бен описывал так:

Я думаю, это очень полезно, потому что [такая модель] разбивает задание на части. Обычно это просто “решите задачу”, но здесь все поделено на пять основных категорий. Это “проанализируйте ситуацию, используйте вспомогательную информацию, вычислите, проанализируйте свой ответ, а затем выдайте заключение”. И в рамках этой структуры все разбивается на более мелкие части, чтобы было легче выполнять.

Некоторые дети заявили, что модель не только помогала им сориентироваться в процессе решения задач, но и побудила их учиться более усердно. Нота выразила это следующим образом:

Мы смотрели на задачу и пытались понять не только то, что она требует, но и то, что находится на более глубоком уровне.

Тейлор – еще один вдумчивый подросток, с которым я общалась в тот день, – отметил, что цикл математического моделирования применим не только к математике, и заметил, что его можно использовать «практически для всего», подчеркнув обобщенную природу цикла.

Во-вторых, Нэнси выделила место для оценивания работы школьников, что оказалось крайне полезным. Ученики использовали эти критерии как ориентиры, и в результате обучение воспринималось как циклический процесс работы, пересмотра и совершенствования. Тейлор хорошо описал этот процесс:

Я думаю, что этот цикл тоже не совсем пошаговый процесс. Например, если вы где-то напутали или сделали ошибку, вы можете вернуться назад и включить эту часть или использовать ее для помощи. Я не думаю, что тут просто пошаговый процесс. Я имею в виду, что при желании вы можете действовать таким образом, но считаю, что его также можно использовать для возвращения назад и переоценки своей работы.

В-третьих, ученики в классе Нэнси регулярно получали отзывы о своей работе, причем все отзывы были ориентированы на продолжение учебы. Нэнси писала комментарии к работам школьников; я всегда считала, что такое понимание преподавателем того, каким образом ученики могут совершенствоваться, – это большой подарок. Брейден упомянул о своей признательности за эту обратную связь:

Еще мне нравятся комментарии учителя, потому что я время от времени делаю ошибки. Я знаю, что все здесь уже совершали их, и чувствую, что простой взгляд назад на свои ошибки и комментарии просто поможет мне действовать лучше в следующий раз.

Брейден уловил природу итеративного процесса обучения, с которым познакомился. Для него, как и для всех подростков, с которыми я встретилась в тот день, обучение воспринималось как путешествие, а предложенные Нэнси указатели и карты направляли их на этом пути. Они осознанно придерживались собственного пути и понимали, что им нужно делать, чтобы совершенствоваться. Бен противопоставил этот осознанный итеративный путь тем методам изучения математики, которые использовались в его предыдущей школе:

До того, как я перешел сюда, мы делали проект, и ты просто получал оценку. Просто оценку – восемь баллов или что-то другое. Учитель обычно не писал комментариев, не было никакой обратной связи – хороших или плохих слов. Всегда только оценка.

Школьники в классе Нэнси с удовольствием выполняли задание по поиску наилучших способов экономии воды, изучали алгебраические понятия, решая реальные задачи с данными, и получали пользу от работы в группах и поиска закономерностей. Но, возможно, важнее всего было то, что они стали рассматривать свою учебу как итеративный процесс работы, пересмотра и совершенствования. Они получили инструменты, которые помогли им понять, на каком этапе пути обучения они находятся, и научились метакогнитивному подходу. Как раз те атрибуты, которые Нэнси встроила в свое преподавание и оценивание, – предоставление ученикам обратной связи и возможности пересмотреть и улучшить свои результаты – признаются одними из важнейших характеристик для развития у учеников установки на рост284.

Конрад Вольфрам, мой друг и коллега из Великобритании, его брат Стивен Вольфрам, а также их команды внесли огромный вклад в мир прикладной математики. Например, они создали программу Mathematica285 и математический инструмент WolframAlpha286, который не только помогает всем, кто изучает математику или работает с ней; он также используется для Siri, Alexa и ChatGPT. Помимо этой невероятной работы, Конрад многое сделал для математического образования: например, он выступил на конференции TED[51], где убедительно представил цикл моделирования (рис. 7.17), похожий на тот, что использовали школьники Нэнси, как руководство для изучения всей математики287.

Рис. 7.17. Математическое моделирование.

Конрад Вольфрам.

Конрад указывает, что в реальной математической практике важно уметь интерпретировать ситуации и формулировать вопрос; затем они должны преобразовать вопрос в вычислимую форму, выполнить эти вычисления и интерпретировать результаты. Он отмечает, что на занятиях учащиеся преимущественно сосредоточены только на третьей части этого цикла – на вычислениях. Однако вследствие появления доступных технологий эта часть процесса, пожалуй, стала наименее важной и потому не требующей особого внимания. Конрад не просто говорит об этом; он и его команда разработали цельный подход для изучения математики в старшей школе, который предполагает, что учащиеся начнут производить вычисления не вручную, а с привлечением технологий, а освободившееся время педагоги используют для привлечения школьников к решению различных математических задач, обучая их тому, как их ставить и использовать инструменты для вычислений, а затем интерпретировать и анализировать результаты288. Примеры вовлекающих задач – проектирование дронов и расследование предвзятого и мошеннического поведения.

Такой процесс моделирования, в который Конрад и его команда вовлекают учащихся, может пригодиться молодежи в их будущей учебе и работе. Похожим образом действует и Нэнси, предоставляя школьникам возможность не только изучать процесс моделирования, но и отслеживать свою работу и постоянно получать обратную связь. Хотя этот процесс невероятно ценен для учеников, он не предусмотрен в большинстве курсов математики в старшей школе.

Преподавание с циклами обратной связи

Одно из самых важных свойств цикла обратной связи заключается в том, что он не фокусируется на личных результатах: иными словами, он не говорит, прав человек или нет.

Вместо этого он сосредоточен на представленной работе и на необходимости ее пересмотра. Такое изменение в подходе подчеркивают Элизабет и Роберт Бьорки – специалисты по когнитивистике. Они отмечают важность регулярной самопроверки289. Они объясняют, что процесс извлечения информации из нашего мозга повышает ее доступность в будущем. Они также упоминают, что продуктивная форма тестирования, создающая «желательные трудности», не носит оценочного характера, поэтому они предлагают проводить само– и взаимопроверку. Важно отметить, что успешными являются те тесты и циклы обратной связи, которые смещают фокус с людей и результатов на идеи.

Об одном из самых интересных случаев, когда учащиеся получали цикл обратной связи такого качества, мне рассказал один коллега из Высшей школы образования Стэнфордского университета. Лауреат Нобелевской премии физик Карл Виман заинтересовался проблемами образования, когда работал в Колорадском университете в Боулдере290. Он заметил, что «яркие, успешные аспиранты» зачастую не разбирались в физике, пока не провели какое-то время в лабораториях, где наработали практический опыт, и только после этого они начинали превращаться в специалистов.