(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

тот самый принцип, о котором мы столько ранее говорили – методы предлагаются учащимся уже после того, как они самостоятельно исследовали эти идеи в ходе выполнения заданий301. Этап, который японские преподаватели называют «исследованием», – это время, когда учащиеся могут проявить свою интуицию и смекалку. Только после того, как школьники поделились своими мыслями в процессе обмена мнениями, учителя рассказывают о новых методах. В ходе этого исследования Кливаз и Миякава обнаружили, что учителя в Японии больше времени тратят на вовлечение учеников в обсуждение на уроке, нежели швейцарские преподаватели.

В Японии дискуссию в классе называют нерияги[53] и считают самой важной частью урока.

Японская схема урока имеет общие черты с моделью Вимана, которую я описывала в предыдущей главе, – в частности, возможность для учеников рассмотреть и обсудить идеи, а затем изучить новые методы в ходе последующей дискуссии302. Именно так проходили занятия в школе Феникс-Парк, и именно эту структуру мы используем в летних лагерях Youcubed, где сейчас преподают учителя из США и всего мира, а ученики добиваются впечатляющих результатов: мы начинаем с того, что предлагаем школьникам насыщенные задания; затем, после того как они поработают и столкнутся с потребностью в новых знаниях, мы даем им их в составе малых групп или в ходе обсуждения целым классом303.

Несколько лет назад я получила письмо от Алексея Верницкого, профессора математики из Эссекского университета в Великобритании, который прочитал одну из моих книг304. Он рассказал, как вдохновился на новые методы в своем преподавании и перешел от узкой математики к задачам, которые предполагают математическое разнообразие:

Я прочитал «Математическое мышление» и с тех пор уже никогда больше не читал традиционных лекций. Меня радует новый способ преподавания, и мне нравится видеть, как светлеют лица студентов, когда они работают над «боулеризованными» заданиями вместо традиционных математических задач.

Затем Алексей в сотрудничестве с нейроученым и психологом провел исследование разницы между узкими и разнообразными математическими заданиями: ученые снимали электроэнцефалограммы мозга студентов и отслеживали активность тех областей, которые связаны с мотивацией. Это междисциплинарное сотрудничество дало потрясающие результаты. Во-первых, обнаружилось, что у учащихся, которые получали в тестах стандартные математические задачи, интерес к продолжению теста падал по мере того, как они отвечали на вопросы. Напротив, у учеников, отвечавших на более разнообразные математические вопросы, мотивация в процессе работы росла305.

Кроме того, ЭЭГ-исследования обнаружили более сильные паттерны активности, связанной с мотивацией и вовлеченностью, в мозге тех учащихся, которые решали разнообразные математические задачи, – активность смещалась в левую часть префронтальной коры. В предыдущих работах было показано, что активность мозга, связанная с мотивацией, снижается по мере того, как учащиеся решают стандартные сложные задачи, но повышается, когда они имеют дело с разнообразными математическими заданиями. Учитывая эти убедительные свидетельства, исследователи пришли к выводу, что задачи, которые предполагают различные способы решения, включая наглядные, создают положительный опыт обучения для учащихся306.

Алексей очень тщательно продумывает задачи по математике: он рассматривает их как возможность для студентов увидеть и усвоить важные математические принципы. Он дает интересные и сложные задания и предлагает обсуждать их в парах и группах. Он предвидит, что задания покажутся им сложными, однако вместо того, чтобы предварительно учить студентов тому, что нужно, он использует важный принцип – ждет, когда у студентов возникнет потребность в новых знаниях, и только потом излагает их. Алексей заметил изменения в вовлеченности своих учеников и радуется моментам, когда их лица светятся, пока они занимаются такой математикой.

Аналогичным образом группа инженеров из Южной Африки проверила предложенные мною идеи об открытой и разнообразной математике через задачи, используемые в инженерных программах колледжей. Они обнаружили, что все идеи применимы к университетской математике, и поделились примерами того, как они трансформировали инженерные задачи, сделав их более разнообразными307.

Разнообразие через исследование данных

Однажды холодным зимним днем в Северной Калифорнии я получила электронное письмо от математика Сола Гарфанкела308. Это письмо подняло мне настроение, поскольку Сол – яркая и интересная личность. Преподаватель университета, посвятивший свою жизнь и работу образованию в сфере математики, вел передачи службы PBS[54] и последние несколько десятилетий работал исполнительным директором авторитетной организации – Consortium for Mathematics and Its Applications (Консорциум по математике и ее приложениям)309. Наше общение с Солом началось в режиме видеоконференций, и он нередко показывал мне окружающие его зимние снежные пейзажи. Я люблю снег, и поэтому наши разговоры доставляли мне еще больше радости.

Я узнала, что Сол не только создал множество интересных математических ресурсов, но и организовал международный математический конкурс по моделированию данных для старшеклассников и студентов колледжей310. Возможно, вы думаете, что такой формат не особо интересен или важен для вашей жизни, но позвольте мне сначала сообщить некоторые потрясающие факты.

Математическая олимпиада – одно из популярных соревнований, которые проводятся в школах США и многих других стран311. Мне очень нравятся задачи математических олимпиад, поскольку они часто бывают творческими и интересными, но мне не по душе, что этим заданиям сопутствует высокое давление и на них отводится ограниченное время312. Каждый год самые успешные школьники отправляются на Международную математическую олимпиаду. За последние тринадцать лет в американских командах не было ни одной девушки, ни одного ученика афроамериканского или латиноамериканского происхождения[55] 313. Еще один математический конкурс, который приводит к ужасающему неравенству, – это математическая олимпиада имени Уильяма Патнема. Она известна как «самое престижное» математическое соревнование для учащихся колледжей, и медианное количество набранных баллов зачастую оказывается 0 или 1 из 120 возможных[56] 314. В этом конкурсе предлагаются короткие сложные вопросы. Если вы просмотрите сайты, на которых представлены люди, добившиеся успеха на олимпиаде имени Патнема, вы не увидите ни одной женщины, равно как и представителей других рас315. Одна молодая специалистка по информатике из Стэнфорда рассказала мне, что, когда она училась в университете, от студентов требовали указывать свой результат в олимпиаде Патнема каждый раз, когда они приходили на собрание математического отделения. По-моему, это форма издевательства – людей заставляют думать, что их ценность определятся по результатам какого-то узкого стрессового теста.

Но посреди этого мрачного ландшафта математических тестов, результаты которых настолько серьезно увязаны с полом и расой, что должны заставлять звонить в тревожные колокола на всех математических отделениях, существует один проблеск. Сол придумал соревнование, где оценивается математическое моделирование. В течение четырех дней около 80 000 студентов работают над сложными и разнообразными прикладными математическими задачами – в группах до трех человек. В качестве примера можно привести анализ возобновляемых источников энергии в различных государствах, изучение тенденций в развитии мировых языков и планирование схемы вертолетного оптического поиска. Когда учащиеся решают эти задачи, они имеют дело с математическим разнообразием и ish-математикой – черпают знания из разных областей математики, пробуют разные подходы, сотрудничают друг с другом и опираются на чужие идеи. Впечатляет, что 43 % участников (и такое же соотношение победителей) – девушки316. Изначально конкурс был рассчитан на студентов колледжей, но на третий год его выиграла команда старшеклассников – организаторы даже не знали, что в соревновании участвовала какая-то старшая школа. С тех пор это состязание привлекает все больше и больше школьных команд317.

Я заинтересовалась этим необычным математическим соревнованием, когда Сол спросил, не может ли моя команда в Стэнфорде изучить, почему этот конкурс приводит к гораздо более впечатляющим гендерным результатам, нежели другие университетские математические соревнования. Мы попытались ответить на этот вопрос, прибегнув к комбинированному методу: исследование включало более 42 часов наблюдений, беседы с преподавателями и учениками, а также опросы 1327 учащихся в десяти странах. Один из наших выводов заключался в том, что студенты участвовали в конкурсе, потому что чувствовали, что им позволяют полноценно проявить себя, а не ставят оценки по узким математическим требованиям318. Мы