(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

закодировали и проанализировали опросы и беседы с целью выявить те особенности конкурса, которые привели к следующему выводу: такой тип соревнования дает более справедливые результаты. На рисунке 8.2 показаны три обнаруженные темы, свидетельствующие о причинах участия в конкурсе, – это возможность:

• сотрудничать с другими,

• заниматься многомерной математикой и моделированием и

• создавать математические идеи.

Рис. 8.2. Причины, по которым студенты участвуют в конкурсе моделирования.

Один из преподавателей математики, который каждый год с энтузиазмом рекомендует этот конкурс студентам своего колледжа, объясняет свой выбор так:

Это совсем другой опыт по сравнению с соревнованиями вроде математической олимпиады имени Патнема. На мой взгляд, здесь более точно воплощается то, как работают профессиональные ученые-математики (читают, пишут, работают в команде, обмениваются математическими идеями, берутся за задачи, которые изначально не очень хорошо определены, решают задачу, не ограничиваясь фиксированным промежутком времени, и так далее). Помимо прочего, я рекомендую этот конкурс студентам, которые хотят ощутить вкус математического «исследования», а также тем, кто хочет сразу после окончания университета идти на работу в промышленность319.

Размышления профессора и результаты нашего исследования подчеркивают ценность математического разнообразия – не только для заинтересованности студентов, их успеха и долгосрочного обучения, но и для оценивания.

Он выражает важную мысль: именно такой разнообразный опыт и есть настоящая математика.

Это соревнование – помимо демонстрации того, что, когда мы предлагаем ученикам заниматься более разнообразным материалом, успеха добивается большее количество людей, – также показывает интерес учащихся к исследованию данных. Весьма удачно, потому что мы живем в мире, наполненном данными, и любой учитель математики в программах К–16 может разнообразить свой курс, наполняя ее данными. Тэмпл Грандин, профессор животноводства, выдвинул смелое предложение изменить обязательный материал в старшей школе и на младших курсах колледжей – перейти от алгебры к анализу данных320. Исследования, включая наш анализ конкурса Сола, подтверждают, что такое изменение может повысить разнообразие и успеваемость учащихся, а также их заинтересованность в дисциплинах STEM321.

Влияние отдельного преподавателя

На протяжении многих лет я выступала за более разнообразный математический опыт для учащихся; я знаю немало родителей и преподавателей, обеспокоенных тем, что они не могут повлиять на ситуацию, когда их дети и ученики вынуждены в школе иметь дело с узкой математикой. Иногда они считают, что можно смириться с этой системой и тоже учить узким образом. На это у меня есть два аргумента.

Во-первых, я знаю, что, когда учеников учат видеть математику с всевозможных ракурсов и подходить к ней с разных сторон, опираясь на стратегии, которые я изложила в главе 2, дети меняются и получают огромные преимущества, даже если в дальнейшем столкнутся в классе с узким преподаванием математики. В главе 4 я изложила историю Ясмины – студентки, которая добилась наглядности с помощью палочек Кюизенера. Когда я обратилась к Ясмине за разрешением рассказать о ней в своей книге, она сообщила, что новый подход к математике, который она освоила на моих занятиях, позволил ей успешно пройти «несколько курсов высшей математики в Стэнфорде (линейную алгебру, анализ нескольких переменных, вероятность и статистику)». Изучение математики с опорой на ментальность и разнообразие настраивает учеников на успех в дальнейшей жизни – какой бы подход ни выбрали учителя или родители.

Второй аргумент заключается в том, что я знаю бесчисленное множество учителей программы K–12, которые обеспечивали разнообразие в преподавании математики в рамках школьной системы с ее нескончаемым потоком узких стандартов и тестов, и это оказывало сильное воздействие на школьников – и в момент изучения, и впоследствии322. Когда учителя демонстрируют детям, что те могут видеть математику по-иному, это меняет подход учеников к предмету во всех смыслах. Один-единственный преподаватель может сильно повлиять на жизнь любого человека, и я призываю вас стать той самой личностью, которая изменит людей, с которыми вы взаимодействуете, и вас самих323.

Наверное, нет ничего удивительного в том, что я так сильно убеждена во влиянии одного учителя на всю систему обучения в целом, поскольку убедилась в этом на собственном опыте. Я посещала английскую государственную общеобразовательную школу, успешно осваивала методы, умела быстро считать, и преподаватели вполне ценили подобный способ работы, но мне он не особо нравился. Я собиралась заниматься естественными науками в колледже, и поэтому в 17 лет выбрала курс математики на продвинутом А-уровне[57]. Именно тогда я встретила миссис Маршалл и столкнулась с совсем другой математикой.

Миссис Маршалл была своеобразной личностью – значительно более интересной, нежели все предыдущие мои учителя математики. Она часто влетала в наш класс, запыхавшись, потому что мчалась по коридорам, чтобы не нарваться на директора, – она носила длинные серьги, которые директор запретил даже учителям. Миссис Маршалл однозначно произвела на меня впечатление. Я помню, как с некоторым удивлением отметила для себя, что, оказывается, высокий уровень математических знаний может сочетаться с бурным характером! Именно манера преподавания миссис Маршалл окончательно раскрыла мой потенциал и интерес к предмету.

Миссис Маршалл использовала тот же учебник математики для A-уровня, набитый идеями анализа, что и другие учителя школы, но она не придерживалась стандартного метода – прочитать лекцию, а затем дать задания на вычисление. Она выделяла несколько вопросов в каждой главе и предлагала нам порассуждать о них в группах. После этого начиналась дискуссия всем классом. В этот важный момент миссис Маршалл предлагала оригинальные идеи и рассказывала о новых методах. Такой подход к изучению математики – как к предмету, на который можно смотреть с разных сторон, в котором ценятся разнообразные идеи и мысли учеников, – изменил для меня все. Он повлиял на мое отношение не только к школьному предмету, но и к самой себе. В результате я стала смотреть на математику как на свою будущую работу.

Сегодня, когда я размышляю о том опыте, который получила, будучи школьницей 17–18 лет, мне кажется интересным тот факт, что учительница преобразила для меня математику, изменив два аспекта в процессе обучения: она приглашала школьников обсуждать идеи и излагала новые методы после того, как мы уже подискутировали и осознали их необходимость, – и эту систему я показала на нескольких примерах, описанных в этой книге.

Нарушение сложившихся устоев в математике

С тех пор я преподавала математику в школах Лондона и Калифорнии и изучала, как это делают в разных местах Англии и США. Мой собственный опыт преподавания и проведенные мною исследования демонстрируют ценность разнообразных математических подходов для учебы и успеваемости учащихся324. Однако есть и другие преимущества, не менее важные, чем успеваемость. Одно из них я назвала «отношенческим равенством»: это форма равенства, которая возникает, когда ученики начинают рассматривать математику как возможность сотрудничества, а не соревнования, учатся относиться друг к другу с уважением и учитывать другие точки зрения в процессе обучения325. Когда мы прививаем детям идею сотрудничества, тщательно выстраивая групповые нормы уважительных отношений, мы вносим огромный вклад в развитие справедливого общества. Одной из целей школы должно стать воспитание молодых людей, которые относятся друг к другу с уважением; которые ценят вклад других людей, с которыми общаются, – независимо от расы, класса, пола или любых других различий; которые руководствуются чувством справедливости, учитывая потребности других членов общества. Первый шаг к воспитанию граждан, ведущих себя подобным образом, – это создание классов, в которых ученики учатся вести себя подобным образом.

В дополнение к этой общественной пользе, люди пробуют ценить математическое разнообразие и все, что оно может им дать. Участники разных исследований, которые я проводила, отмечают, что изучение математического разнообразия помогает им добиваться высоких результатов. Например, Сет занимался математическим анализом в классе, принимавшем участие в исследовании различных подходов к анализу, которое проводили мы с моим коллегой по Стэнфорду Джимом Грино326. Ученикам в классе Сета предлагалось совместно обсуждать идеи; по его словам, этот опыт помогал ему и позже, когда он работал один, – он уже знал, что