Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

Биржи не запрещают покупать по двум разным ценам; незаконными считаются лишь сделки с намерением разбить тик на более мелкие ценовые приращения. Незаконно говорить трейдеру: «Я куплю у вас что-то по 100,01, если вы также продадите мне что-то по 100,00».

При непрерывном во времени финансировании реплицирующие сделки пришлось бы проводить в бесконечно больших объемах при бесконечно малой разнице между ценами страйк, чтобы должным образом хеджировать книгу. Но рынки не торгуют непрерывно, пускай даже лишь ради соблюдения условностей, поскольку существует установленное минимальное приращение цены, называемое тиком. На биржах такое приращение устанавливается официально, и сделки с меньшими приращениями цены запрещены (см. врезку «Мастер опционов: деление тика»). На внебиржевых рынках это правило – дань этикету и результат договоренности, поскольку большинство дисплеев и систем не настроены на обработку значений менее установленного минимального приращения. На некоторых рынках трейдеры считают абсолютно недопустимым показывать цену со слишком малым приращением (менее 1/100).

Определение ставки: форвардные ставки и ставки спот

Важно понимать, оговаривается ли в контракте опциона ставки достижение ценой уровня «выше» или «не ниже» цены страйк. Это условие выражается с помощью математического символа > или ≥. Разница незначительна, но она влияет на репликацию. Если ставка определена как «я плачу, если цена актива достигает 100 и более», то колл-спред должен определяться как длинный с ценой страйк 99,99 и короткий с ценой страйк 100. Если ставка определена как «больше 100», репликация потребует длинного колл-спреда с ценой страйк 100 и короткого с ценой страйк 100,01.

Еще один важный момент – сроки выплат. Некоторые ставки, особенно вне денег, продаются как опционы, где покупатель сразу же выплачивает премию и получает выплату, если актив достигает оговоренного значения ставки при экспирации. Другие опционы ставки деноминируются как опционы, где платит проигравшая сторона. Единственное различие между этими двумя разновидностями ставок заключается в дисконтировании премии.

■ Ставка спот – это ставка, по условиям которой одна из сторон сразу же платит премию и получает выплату, если ставка сыграла.

Форвардной называют ставку, по условиям которой стороны рассчитываются в конце. Соответственно, сторона, выплачивающая начальную премию, условно считается покупателем. Ниже приведены примеры.

● Ставка, по условиям которой одна из сторон платит $50, если цена спот окажется выше 100 в пятницу после Дня благодарения, и получает $50, – это форвардная ставка.

● Ставка на результат теннисного матча, как правило, является форвардной.

● Нота, по которой выплачиваются 6 %, если Мексика останется выше диапазона, и 5 % в противном случае, – это ставка спот. Держатель ноты через уменьшенный купон платит за ставку заранее.

● Контракт, по условиям которого одна из сторон платит другой 10 центов и получает $1, если Федеральная резервная система на следующем заседании снизит ключевую ставку, – это ставка спот.

Таким образом, анализ не составляет труда, за исключением следующих случаев:

● Форвардная ставка оценивается как форвард.

● Ставка спот имеет одну ногу, оцениваемую вначале (начальная выплата), и одну ногу, оцениваемую как форвард (получаемая выплата).

Автор этой книги постарался свести к минимуму использование арифметики простых процентных ставок. Соответственно, читатель должен представить (на какое-то время), что процентные ставки равны нулю, и сосредоточиться на более важных и интересных вещах.

Ставкой колл принято называть контракт, по условиям которого одна из сторон делает ставку на то, что на момент экспирации цена актива будет выше цены страйк. Ставка колл для одной стороны – это ставка пут для другой стороны.

Также принято считать, что ставки котируются в процентах от общей суммы на кону. Если конечная выплата составляет $1, то ставка, оцениваемая в 25 центов, соответствует спотовым или форвардным расходам в размере 25 центов. Если конечная выплата составляет $500, эти расходы возрастают до $125.

Ценообразование с учетом перекоса волатильности

Хотя репликация важна с точки зрения анализа структуры опциона и понимания ее теоретической стоимости, она не всегда целесообразна, если учитывать все транзакционные издержки. Автор этой книги ни разу не слышал, чтобы кто-либо реплицировал бинарные опционы узкими спредами.

Поскольку для большинства рынков характерен перекос волатильности, а бинарные опционы чувствительны к нему, при ценообразовании приходится делать соответствующую поправку. Если минимальный тик оставляет 0,01, опцион будет чувствителен к возникающей из-за перепада волатильности разнице в перекосе между значениями 100 и 100,01. Это не шутка: если между ценами страйк существует даже микроскопическая разница перекоса волатильности, при больших объемах, требуемых спредом, такой перекос существенно снизит теоретическую стоимость последнего.

Заложить в цену эффект перекоса волатильности можно, подумав о расширении реплицирующего портфеля и увеличении его объема. Предположим, что между 99,5 и 100,5 страйками с тем же сроком, что и у бинарного опциона, наблюдается перепад волатильности 0,5 пункта. Влияние перекоса на структуру должно быть эквивалентно долларовому влиянию перекоса на реплицирующий портфель. Оно рассчитывается следующим образом.

Предположим, у трейдера есть 3-месячная ставка, по условиям которой он получает $100, если рынок будет выше 100 (для простоты примем, что процентные ставки равны нулю, а волатильность – 15,7). Цена, рассчитанная по формуле Блэка–Шоулза–Мертона, составляет 49,6. Реплицирующий спред 99,5/100,5 будет примерно равен ставке, умноженной на 100, если предположить, что в этом воображаемом мире рынок движется с очень большими приращениями в 1 пункт. Это предположение необходимо, чтобы исключить возможность остановки рынка между ценами 99,5 и 100,5, т. к. в этом случае реплицирующий портфель не будет соответствовать бинарному опциону. При цене, рассчитанной по формуле Блэка–Шоулза–Мертона для колл-спреда, цена ставки должна быть близкой к 49,6 (в рамках этой дискуссии мы не будем подробно обсуждать небольшую риск-нейтральную разницу между ценами обоих инструментов). Поэтому в идеальном мире только однодолларовых движений рынка можно считать, что трейдер хеджировался.

Но на рынке наблюдается перекос волатильности. Рассмотрим это на упрощенном примере.

Предположим, колл-спред торгуется по 0,69, потому что 99,5 колл торгуется на 1 пункт волатильности выше, чем 100,5 колл. Это означает, что для компенсации перекоса бинарный опцион должен стоить дороже и торговаться по $69 (а не по $49,6 по формуле Блэка–Шоулза–Мертона). Готов ли кто-нибудь поставить столько на то, что цена спот при экспирации будет выше? Эти цифры говорят о том, насколько серьезно перекос волатильности может влиять на барьерный опцион.

Возникает противоречие. Ставка торгуется с вероятностью того, что цена актива в конце концов окажется выше уровня ставки. Расхождение между дельтой и ставкой будет объяснено позже; сейчас важно отметить, что перекос волатильности (любой перекос) заставляет два элемента расходиться. Это расхождение ведет к более сложному представлению о парадоксе перекоса волатильности.

На практике, однако, перекос волатильности не будет столь выраженным, как в рассмотренном выше примере, за исключением лишь, может быть, случаев смещенных активов или опционов на S&P100 после всплеска паники. Нормальный перекос волатильности (для хорошо работающих активов) варьирует между 0,5 и 3 пунктами и при разнице между 0,25 дельты колла и 0,25 дельты пута (т. е. между 75-дельтовым коллом и 25-дельтовым коллом). При интерполяции перекоса волатильности на 2 пункта 3-месячный опцион демонстрирует перекос около 0,12 при волатильности 15,7 для разности значений 99,5 и 100,5 (поскольку разница между 0,06 дельты и 0,5 дельты вызывает отклонение на 2 пункта). Влияние перекоса 0,12 на цену колл-спреда составляет 0,025, что увеличивает разницу между ценами страйк с 0,49 до 0,524. Соответственно, с помощью реплицирующего портфеля цена опциона ставки может возрасти с $49,6 примерно до $52,4. Этого, однако, вполне достаточно, чтобы предостеречь трейдеров от потенциально ошибочного ценообразования.

Мастер опционов: карта репликации

Два опциона, не зависящие от последовательности цен, должны стоить одинаково, если они предполагают одинаковые выплаты везде на карте возможных цен (в соответствии с принципом стохастического доминирования).

Независимость от последовательности цен, или пути, означает, что с такими опционами следует работать, обращая внимание исключительно на дату экспирации. Об этом говорилось