Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

используется вместо гаммы в момент экспирации: кумулятивная гамма будет дельтой, но она явно очень велика в чересчур узко определенный момент экспирации. Это также относится к дельте бинарного опциона, близкого к истечению.

Математическое примечание. Парадокс двух валют заключается в том, что дельта одной стороны является бинарным опционом для другой, и наоборот. Это связано с неравенством Йенсена: ожидание 1/x (инвертированная цена) не является инверсией ожидания x, как показано в модуле C. Кроме того, для одной конкретной цены страйк дельта пута будет равна цене бинарного колла, и наоборот. Это может привести к бинарному парадоксу – невозможной ситуации.

● Для трейдера, чья валюта расчетов – доллар США, ставка в долларах на пару USD-DEM отличается по цене (в переводе на немецкие марки) от ставки в немецких марках на пару USD-DEM при той же цене страйк и том же сроке экспирации. Эта разница будет увеличиваться как по мере приближения экспирации, так и по мере роста волатильности.

● Причина проста: пусть N(d2) – цена ставки трейдера, чья валюта расчетов – доллар США. Тогда N(dl) будет ценой ставки трейдера, чья валюта расчетов немецкая марка, при переходе на другую валюту.

● Следствие парадокса немного тревожит: две позиции на двух континентах не могут быть заявлены по одной цене. Кроме того, два трейдера, торгующие по разные стороны от ограды, покажут прибыль или убыток на одной ноге.

Важнейшие последствия для хеджирования

● Ставки должны оцениваться с учетом перекоса волатильности на рынке с помощью описанного выше метода.

● Трейдер не должен обманываться явно низкими значениями гаммы и веги на начальном этапе.

● Лучшая репликация для цифрового опциона – широкая реверсия риска (включающая защиту от перекоса). Она позволит соблюсти баланс между транзакционными издержками и оптимальными хеджами. По мере приближения экспирации трейдеру следует постепенно сокращать разницу между ценами страйк. Поскольку такой оптимальный подход влечет за собой транзакционные издержки, слишком часто хеджироваться не следует.

● Когда до экспирации опциона ставки далеко, реальные риски связаны с перекосом волатильности. По мере приближения экспирации риски становятся пин-рисками. На практике перекос волатильности можно хеджировать, пин-риски – нельзя.

Дельта – это дельта Дирака

Как показано на рис. 17.9, дельта ставки выглядит как гамма стандартного опциона. Кроме того, она ведет себя и «кровоточит», как гамма такого опциона. Это происходит потому, что дельта – это почти ставка (в риск-нейтральной вселенной, если выражаться точнее). Поэтому дельта ставки будет гаммой.

Знакомство с дельта-функцией Дирака помогает понять динамику дельты. Дельта-функция Дирака – интересная функция, имеющая нулевое значение везде, кроме одной точки, но с интегралом по всей карте, равным 1. Аналогично, дельта в момент экспирации равна нулю везде, но ее интеграл по возможным движениям равен номинальной стоимости ставки.

Гамма ванильного опциона следует за дельтой Дирака на экспирации, но лишь немногие трейдеры воспринимают гамму в этот момент всерьез, поскольку это лишь производная экспозиции. Однако, когда речь идет о бинарных опционах, громоздкая дельта вызывает некоторую озабоченность, потому что многие трейдеры хеджируют ее базовыми активами, когда ликвидность рынка позволяет это сделать.

Дельту можно рассматривать как количество, которое требуется купить, чтобы покрыть расходы при каком-либо движении базового актива. Поскольку трейдер знает, сколько денег нужно сделать на конкретном движении, это понятие становится почти тривиальным. Однако по мере приближения экспирации количество, которое необходимо купить, будет близким к нулю в областях, не пересекающих страйк ставки. Дельта ставки, однако, будет близка к бесконечности на одном очень узком отрезке вблизи цены страйк. На практике пример идеальной репликации все тот же: если бы рынку разрешалось двигаться только с шагом в один тик, между, скажем, 100,00 и 100,01, то дельта в этом интервале была бы в 100 раз выше величины выплаты по ставке (если сделка предполагает вариант «больше или равно»; в противном случае трейдеру придется создавать хедж между 99,99 и 100,00). Трейдер, ставящий $100, для покрытия риска должен будет иметь позицию по номинальной стоимости 100/0,01 = $10 000.

На рис. 17.9 показано, как по мере приближения экспирации опциона дельта концентрируется вокруг цены страйк. На рис. 17.10 показана ступенчатая функция цены ставки очень близко к моменту экспирации. На рис. 17.11 приведена дельта Дирака – производная функции, представленной на рис. 17.10.

Гамма ставки

Поскольку дельта ставки схожа с гаммой опциона, не исключено, что гамма ставки будет схожа с DgammaDspot (гаммой гаммы), или производной третьего порядка от функции цены спот. Интересно было бы увидеть, как торговля экзотическими опционами может помочь трейдеру больше узнать о поведении стандартных инструментов.

Как и гамма ванильного опциона, гамма ставки более пологая и устойчивая, когда до момента экспирации далеко (рис. 17.12 и 17.13).

Выводы: Статистический трейдинг или динамическое хеджирование?

Итак, мы пришли к выводу, что хеджировать бинарный опцион с помощью опциона с непрерывными выплатами чрезвычайно трудно из-за обременительных транзакционных издержек. Даже при минимальных приращениях можно использовать статическое хеджирование, которое идеально соответствует выплате бинарного опциона, но оно нецелесообразно и неисполнимо. Поэтому для хеджирования лучше не использовать структуры, способные нанести серьезный ущерб, при приближении к экспирации.

Хеджировать опцион ставки только дельтами должно быть проще, и иногда даже дисперсию прибыли/убытка можно уменьшить, но не устранить. В некоторых случаях она даже возрастает. Тем не менее легко «охотиться» за дельтой, т. е. перехеджировать ее, – в зонах, где для трейдера существует угроза убытков, превышающая его готовность к риску. Поэтому, если ставка 102 является для него проблемой, он может купить больше дельт по 101 и принять риск нового падения рынка. Стратегия покупки по 102 непосредственно перед барьером обеспечит дополнительный рост прибыли/убытка, и полученные средства можно будет пустить на покрытие транзакционных издержек, возрастающих в области вокруг цены страйк. «Охота» на дельту ни увеличивает, ни уменьшает суммарный доход. Она лишь сглаживает прибыль/убыток вокруг барьера за счет небольшого падения по мере удаления от него.

Управление некоторыми бинарными опционами – например, ставками – иногда лучше предоставить банкам. Они, как и страховые компании, способны выживать при определенном уровне локального риска, который можно устранить за счет диверсификации. Хорошая новость о бинарных опционах такова: их самые неблагоприятные сценарии немногочисленны и поддаются диверсификации. Их вега исчезает, когда они приближаются к положению в деньгах, обеспечивающему серьезную защиту. Загвоздка в том, что в таких случаях из-за отсутствия дельта-нейтральности трейдеры должны оценивать ставки с помощью не риск-нейтрального, а собственного субъективного распределения. На рис. 17.14 показаны различные стратегии хеджирования и оценки опционов, доступные институциональным игрокам.

Многие нефинансовые ставки, например на политические события, носят бинарный характер и не оставляют выбора: они не поддаются непрерывному хеджированию. Многие банки выпускают долговые обязательства, выплаты по которым привязаны к политическим событиям или решениям Федеральной резервной системы по ключевой ставке (например, ноты, представляющие собой ставки на снижение ключевой ставки). Именно потому, что для бинарных опционов характерны дискретные выплаты, они легко адаптируются к таким нефинансовым и неторгуемым ставкам.

Таким образом, трейдер может принять на себя пин-риск, если суммы на кону не опасны для жизни. Его задача – сделать их количество достаточным, чтобы они были «статистическими», т. е. чтобы дисперсия зависела от количества ставок. В противном случае трейдер должен в меньшей степени опираться на статистический подход и в большей степени – на репликационный.

Конкретный пример: Бинарные пакетные опционы с изменчивой премией

Эта комбинация рассматривается, несмотря на простоту конструкции, чтобы проиллюстрировать использование бинарных опционов в пакетах.

■ Опционы с изменчивой премией – это ванильные опционы, по условиям которых покупатель платит цену опциона только в случае, если он в деньгах.

Соответственно, такие опционы могут быть построены с помощью простых опционов и форвардных ставок