Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир
Книгу Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир читаем онлайн бесплатно полную версию! Чтобы начать читать не надо регистрации. Напомним, что читать онлайн вы можете не только на компьютере, но и на андроид (Android), iPhone и iPad. Приятного чтения!
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Рисунок 9.11. Полная факториальная функция x!.
Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ(1 − s) через ζ(s); если вы знаете, как посчитать ζ(16), то вы можете тогда вычислить ζ(−15); если вам известна ζ(4), то вы можете вычислить ζ(−3); если вам известна ζ(1,2), то вы можете выделить ζ(−0,2); если вам известна ζ(0,6), то вы можете вычислить ζ(0,4); если вам известна ζ(0,50001), то вы можете вычислить ζ(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ(1 − s) и ζ(s), потому что если s = 1/2, то 1 − s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/2 связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.
Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:
−2, −4, −6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.
А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.
VII.
В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:
Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 − x) равен −ln(1 − x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:
Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:
Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3) верно при x = −1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = −1 выражение (9.3) дает следующий результат:
Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.
Правая часть выражения (9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись![76]
Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + 1/5 − 1/10 − …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − 1/2) − 1/4 + (1/3 − 1/6) − 1/8 + (1/5 − 1/10) − …, т.е. 1/2(1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда![77]
Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.
Прочитали книгу? Предлагаем вам поделится своим отзывом от прочитанного(прослушанного)! Ваш отзыв будет полезен читателям, которые еще только собираются познакомиться с произведением.
Уважаемые читатели, слушатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.
- 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
- 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
- 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
- 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.
Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор knigkindom.ru.
Оставить комментарий
-
Гость Анастасия28 июль 20:09
Анастасия, спасибо. Спасибо за этот мир. Спасибо за эмоции, за ночи без сна за книгой. Спасибо. ...
Крайние земли - Анастасия Владимировна Лик
-
Гость Светлана26 июль 20:11
Очень понравилась история)) Необычная, интересная, с красивым описанием природы, замков и башен, Очень переживала за счастье...
Ледяной венец. Брак по принуждению - Ульяна Туманова
-
Гость Диана26 июль 16:40
Автор большое спасибо за Ваше творчество, желаю дальнейших успехов. Книга затягивает, читаешь с удовольствием и легко. Мне очень...
Королевство серебряного пламени - Сара Маас
