Наука логики - Георг Вильгельм Фридрих Гегель

выступает как различенное или ограниченное. Но этим самым определенное количество распадается вместе с тем на неопределенное множество определенных величин. Каждая из этих определенных величин, как отличная от других, образует единство, точно так же как и последнее, рассматриваемое для себя, есть многое. Но таким образом определенное количество определено как число.

§ 102

Определенное количество находит свое развитие и полную определенность в числе, которое, подобно своему элементу – единице (Eins), – содержит в себе как свои качественные моменты множество (Anzahl) со стороны момента дискретности и единство (Einheit) – со стороны момента непрерывности.

Примечание. В арифметике обычно формы исчисления даются как случайные способы действия над числами. Если есть необходимость и смысл в этих действиях, то этот смысл заключается в некоем принципе, а последний может лежать лишь в тех определениях, которые содержатся в самом понятии числа; мы здесь вкратце укажем этот принцип. Определения понятия числа суть определенное множество и единство (Einheit), а само число есть единство (Einheit) их обоих. Но единство в применении к эмпирическим числам есть только их равенство; таким образом, принцип арифметических действий должен состоять в том, что числа ставятся в отношение единства и определенного множества и устанавливается равенство этих определений.

Так как сами единицы (die Eins) или сами числа безразличны друг к другу, то единство (die Einheit), в которое они приводятся, вообще имеет видимость внешнего сочетания. Исчислять – значит поэтому вообще считать, и различие способов исчисления зависит только от качественного характера чисел, а принципом этого последнего являются определения единства и множества.

Нумерация есть первое действие, это – составление числа вообще, сочетание скольких угодно единиц. Но арифметическое действие есть исчисление и сочетание не просто единиц, а того, что уже представляет собой число.

Числа суть непосредственно и сначала совершенно неопределенно числа вообще; они поэтому вообще неравны; сочетание или исчисление таких чисел есть сложение.

Ближайшее за этим определение состоит в том, что числа вообще равны, они, следовательно, составляют одно единство, и имеется определенное множество таких чисел: исчисление таких чисел есть умножение, причем безразлично, как распределяются между обоими числами, между сомножителями, определенное множество и единство, какой из них принимается за определенное множество и какой – за единство.

Третью определенность представляет собой, наконец, равенство определенного множества и единства. Сочетание определенных так чисел есть возведение в степень и ближайшим образом – возведение в квадрат. Дальнейшее возведение в степень есть формальное продолжение умножения числа на само себя неопределенное количество раз. Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося различия (множества и единства), то не может быть больше арифметических действий, чем эти три. Сочетанию чисел соответствует разложение чисел, согласно тем же определенностям. Поэтому наряду с тремя указанными действиями, которые могут быть названы положительными, существуют также и три отрицательных действия.

Прибавление. Так как число есть вообще определенное количество в его полной определенности, то мы пользуемся им для определения не только так называемых дискретных величин, но также и для так называемых непрерывных величин. Приходится поэтому также и в геометрии прибегать к помощи числа в тех случаях, в которых дело идет об указании определенных пространственных конфигураций и их отношений.

с. Степень

§ 103

Граница тождества с целым самого́ определенного количества; как многообразное в себе, она есть экстенсивная величина, но как в себе простая определенность, она есть интенсивная величина, или степень.

Примечание. Отличие непрерывных и дискретных величин от экстенсивных и интенсивных состоит в том, что первые относятся к количеству вообще, а вторые – к границе, или определенности количества, как таковой. Экстенсивные и интенсивные величины также не суть два особых вида, каждый из которых содержит в себе определенность, которой нет в другом. То, что есть экстенсивная величина, есть столь же и интенсивная величина, и наоборот.

Прибавление. Интенсивная величина, или степень, отлична по своему понятию от экстенсивной величины, или определенного количества, и недопустимо поэтому, как это часто делают, не признавать этого различия и идентифицировать эти две формы величины, не различая их. Это именно происходит в физике, когда в ней, например, объясняются различия удельного веса тем, что тело, удельный вес которого вдвое больше удельного веса другого тела, содержит в себе вдвое больше материальных частиц (атомов), чем другое тело. Это смешение происходит также и в учении о теплоте или о свете, когда объясняют различные степени температуры или яркости большим или меньшим количеством тепловых или световых частиц (молекул). Физики, пользующиеся подобными объяснениями, когда им указывают на несостоятельность последних, отговариваются, правда, тем, что этими объяснениями они отнюдь не думают разрешить вопроса о (как известно, непознаваемом) в-себе-бытии таких явлений и что они пользуются подобными выражениями лишь в видах большего удобства. Что же касается большего удобства, то оно должно состоять в более легком применении исчисления. Но непонятно, почему интенсивные величины, также находящие свое определенное выражение в числе, не могли бы быть так же легко вычислены, как и экстенсивные величины. Было бы ведь еще удобнее совершенно освободиться как от вычисления, так и от самого мышления. Следует еще заметить против указанной отговорки, что, пускаясь в объяснения такого рода, физики во всяком случае выходят за пределы области восприятия и опыта, вступают в область метафизики и (объявляемой в других случаях бесполезной и даже вредной) спекуляции. В опыте мы, разумеется, найдем, что если из двух кошельков с талерами один вдвое тяжелее другого, то это происходит потому, что в одном из этих кошельков имеется двести талеров, а в другом – только сто. Эти монеты можно видеть и вообще воспринимать органами чувств; напротив, атомы, молекулы и т. п. лежат вне области чувственного восприятия, и дело мышления – решать, каковы их приемлемость и значимость. Но (как мы указали раньше, в прибавлении к § 98) абстрактный рассудок фиксирует содержащийся в понятии для-себя-бытия момент многого в форме атомов и принимает их как нечто последнее, и тот же самый абстрактный рассудок, вступая в противоречие как с наивным созерцанием, так и с подлинным конкретным мышлением, рассматривает в данном случае экстенсивные величины как единственную форму количества и не признает интенсивных величии во всей их своеобразной определенности там, где они имеются налицо, а, опираясь на несостоятельную саму по себе гипотезу, стремится насильственным образом свести их к экстенсивным величинам. Если среди упреков, которые делали новейшей философии, особенно часто приходилось слышать упрек, что она сводит все к тождеству, и ее поэтому насмешливо прозвали философией тождества, то данное здесь пояснение показывает, что именно философия настаивает на