Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

что огородил всю остальную Землю, которая осталась снаружи. Вот и в нашем случае, может быть, внутри находится вся остальная вселенная! Ясно, что общее количество энтропии во всей остальной вселенной может быть больше площади поверхности этой крохотной, малюсенькой черной дыры или чего там еще. В общем, проблема с голографическим пределом в том, что он не является «релятивистски ковариантным». Площадь поверхности может быть одинаковой, но в одной системе отсчета у вас голографический предел будет выполняться, а в другой — нет.

В любом случае представляется, что Буссо и другие, в сущности, решили эти проблемы. Делают они это так: смотрят на «нулевые гиперповерхности», составленные из траекторий фотонов (геодезических линий). Вот они релятивистски инвариантны. Так что идея в том, что у вас есть некоторая область и вы смотрите на световые лучи, исходящие от поверхности этой области. Далее вы определяете внутреннюю часть области как направление, в котором эти лучи сходятся. Преимущество такого подхода в том, что при переходе к другим системам отсчета геодезические линии остаются на месте. Таким образом, голографический предел следует интерпретировать как верхнюю оценку количества энтропии, которое можно увидеть в той или иной области, если двигаться от ее поверхности внутрь со скоростью света. Иными словами, энтропия, количество которой вы оцениваете сверху, — это та энтропия, которую вы увидели бы вдоль этих нулевых гиперповерхностей. Кажется, что такой подход позволяет решить проблему.

Но какое отношение все это имеет к вычислениям? Вы могли бы сказать, что если Вселенная бесконечна, то в принципе, очевидно, можно провести сколь угодно длинное вычисление. Просто потребуется достаточно длинная лента для машины Тьюринга. Что не так с этим аргументом?

Студент: Лента схлопнется в черную дыру?

Скотт: Как я уже сказал, лента может быть одномерной и сколь угодно длинной.

Студент: А что если лента начнет удаляться от вас?

Скотт: Верно! Вот ваши биты перед вами, а потом стоит вам отвернуться всего лишь на пару десятков миллиардов лет — и они из-за расширения Вселенной отдалились от вас и пропали за космологическим горизонтом.

Смысл в том, что недостаточно просто иметь все эти биты доступными где-то во Вселенной. Вы должны иметь возможность контролировать их все и задавать их, а затем вам важно иметь доступ к ним позже, в ходе вычисления. Буссо формализует эту идею при помощи штуки, которую он называет «ромбом причинности», но я бы назвал просто вычислением с входом и выходом. Идея в том, что у вас есть некоторая начальная точка P и конечная точка Q, а затем вы смотрите на пересечение светового конуса, направленного вперед из точки P, и светового конуса, направленного назад из точки Q. Это и есть ромб причинности.

Идея в том, что в любом эксперименте, который мы реально можем провести (в любом вычислении, которое мы реально можем осуществить), у нас обязательно будет некая начальная точка эксперимента и некая конечная точка, где мы получаем свои данные (считываем выходные данные). Нам важно не полное количество энтропии во Вселенной, но лишь полное количество энтропии, которая может содержаться в одном из таких ромбов причинности.

С тех пор Буссо опубликовал еще одну статью[187], в которой утверждает, что если вы находитесь в пространстве де Ситтера — то есть в пространстве с космологической константой — примерно таком же, как пространство, в котором мы, судя по всему, живем, то количество энтропии, которая может содержаться в одном из таких ромбов причинности, не превышает 3π/Λ. Вот почему в нашей Вселенной существует предел, приблизительно равный 10122 бит. Смысл в том, что Вселенная расширяется с экспоненциальной скоростью, и поэтому точка, расположенная в настоящий момент на линии нашего горизонта, еще через 15 млрд лет или около того (то есть еще через нынешний возраст Вселенной) окажется от нас на расстоянии в некоторое постоянное число раз больше.

Студент: Где вы помещаете точки P и Q, чтобы получить это число?

Скотт: Их можно поместить где угодно. Вы ищете максимум по всем P и Q. Именно это здесь главное.

Студент: И где же этот максимум возникает?

Скотт: Ну, выбираем P где угодно, затем выбираем Q, скажем, в паре десятков миллиардов лет в ее причинном будущем. Если через 20 млрд лет или около того вы еще не свернете свое вычисление, то данные на другом конце памяти отступят за ваш космологический горизонт. Невозможно на самом деле построить работающий компьютер, радиус которого будет больше 20 млрд световых лет. Это неприятная, но правда.

Студент: Меняется ли Λ со временем?

Скотт: Преобладает мнение, что нет. Могла бы, в принципе, но существуют довольно сильные экспериментальные ограничения в отношении того, на сколько. А вот доля ΩΛ плотности энергии, приходящаяся на Λ, изменяется точно. По мере того как Вселенная становится все более и более разреженной, доля энергии, за которую отвечает Λ, становится все больше и больше, хотя сама Λ остается неизменной.

Студент: Но радиус Вселенной меняется.

Скотт: Да. В нынешнюю эпоху мы видим все больше и больше прошлого, по мере того как свет доходит до нас из все более отдаленных мест. Но как только Λ начнет брать верх над веществом, радиус наблюдаемой Вселенной стабилизируется в состоянии примерно 10 млрд световых лет или около того.

Студент: Почему именно 10 млрд световых лет?

Скотт: Потому что с вашей точки зрения объекты, находящиеся на этом расстоянии, будут удаляться от вас со скоростью света, если нет уравновешивающего влияния гравитации.

Студент: Так это просто совпадение, что нынешний размер наблюдаемой Вселенной составляет примерно такую величину?

Скотт: Либо совпадение, либо нечто более глубокое, чего мы пока до конца не понимаем!

Все это прекрасно, но я обещал, что мы еще поговорим о вычислительной сложности. Итак, если голографический предел в сочетании с космологической константой накладывает конечный верхнюю границу на число битов в любом возможном вычислении, то можно было бы сказать, что мы можем решать только задачи, решаемые за постоянное время! При этом есть ощущение, что в каком-то смысле это сводит на нет всю теорию вычислительной сложности. К счастью, из этого тупика есть элегантный выход: мы говорим, что теперь нас интересует асимптотика не только по n (размеру входной строки), но и по 1/Λ. Забудьте на время, что Λ имеет известное (крохотное) значение, и представьте ее