Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

между абсолютной простотой и ясно созревшей структурой; при этом простота – там, где нет различий, а структура – там, где эти различия есть и где, кроме того, есть, хотя бы принципиально, различие этих различий, т.е. качественное разнообразие их закономерности. Это так везде, так и в аксиоматике.

4.

a) Чем же теперь заполнен этот аксиоматический путь? Его тоже можно было бы сначала описать чисто фактически, не вникая во всю сложность диалектических связей. Однако господствующие здесь предрассудки так велики, что никакое простое описание без всего потребного здесь логического аппарата никем не примется здесь на веру. Можно было бы, напр., исходить из чисто геометрической аналогии. Всякому ясно, что если вместо одной точки мы возьмем две различных точки, то тем самым мы получим какую-то линию, и прежде всего прямую, и даже определенный ее отрезок. Всякому ясно, что если вместо двух точек взять три различные точки не на одной прямой, то мы получим плоскость. Далее мы также получим тело (в связи с тремя измерениями) и разные структуры телесности (в связи с большим числом измерений). Однако не всякому ясно, что перейти от точки к прямой – это значит затратить[43] категорию самотождественного различия, и если невозможно отрицать, что для прямой необходимы по крайней мере две различных точки, то большинство, конечно, не поймет, как это они должны отождествляться, хотя и абсолютно очевидно, что между концами отрезка нет ровно никакого перерыва.

Следовательно, даже аналогия с геометрией ничего не скажет тому, кто глух к диалектике. А между тем логическое назревание категорий происходит как раз в том смысле, в каком назревает геометрическая фигура по мере перехода точки к образованиям с тем или иным числом измерений. В диалектике мы проходим ровно такие же этапы логического развития, как и в эволюции геометрической фигуры от точки до многомерного образования. Здесь действуют те же самые основные категории, создающие возможность мыслить ту или иную структуру. Ясно, что можно всячески подходить к этим вехам диалектического развития, но от этого подхода они нисколько не меняются. Мы можем, напр., описать этот путь при помощи диалектических триад, тетрад, пентад и пр.; можем сделать это даже при помощи диад, – напр., просто противопоставляя одну категорию другой, как прямая противополагается точке, плоскость – прямой и т.д. Можно и совсем отбросить всякую диалектическую манеру выражаться; и от этого сама диалектика, залегающая в основе математического бытия, конечно, нисколько не пострадает. Но мы изберем наиболее педантический, но зато наиболее простой и очевидный путь. Это путь триад.

b) Очень ясно этот путь аксиоматики от начала к концу рисуется при помощи триад так. Что такое система первоначальных элементов, пояснения не требует. Будем считать такую систему за исходный пункт аксиоматической диалектики. Тогда ее отрицанием, или инобытием, окажется ее переход в новую форму при помощи тех или иных преобразований. Этим инобытием и будут самые преобразования. Но полученный после этих преобразований результат есть тоже некоторая система. Этим самым мы отрицаем наше отрицание и возвращаемся к тезису, т.е. совершаем обычный диалектический переход. Получается система систем – диалектический синтез. В арифметике системой актов полагания будет само число, но – уже готовое и сформированное, цельное арифметическое число. В геометрии это есть фигура, в теории множеств – тип и в теории вероятностей – исчисленная вероятность. Этот общий аксиоматический тезис можно также назвать и совокупностью. В антитезисе мы получим разного рода преобразования, и прежде всего то, что называется действиями, или операциями. И в синтезе – метризованную систему, или совокупность, или же систему систем, дающую, смотря по характеру математической области, ту или иную метрическую систему чисел, пространства, множества и вероятностей.

c) В каждой из этих трех областей диалектической аксиоматики можно проводить дальнейшие триады, как это видно из прилагаемой общей таблицы. Но надо не терять из виду общую структуру основных суждений о математическом предмете, именуемых аксиомами, а эта структура создается неизменно через самопротивополагание первоначальных элементов и их самоотождествление, путем перехода от простейшего к сложнейшему.

Таблица 1 ч.

Общеаксиоматический перво-принцип: число есть число Перво-принцип в отдельных матем. науках: = абсол. единичность Арифметика (сущность числа) Единица Геометрия (явление числа) Точка Теория множеств (эйдос числа) Элемент Так из единого перво-принципного корня вырастает все диалектическое дерево математической аксиоматики. Теория вероятностей (выраженный факт числа) Событие (resp. модальное отношение)

Таблица 2 ч.

Принцип (сущность, бытие) = едино-раздельность = "сочетание", "совокупность" Самотождеств. различ. Подвижн. пок. Закон определенности (бытия) Совокупность различных единиц Расположение единиц Количество (счет) Совокупность точек Расположение точек Фигура (построения) Совокупность элементов (мощность) Расположенная совокупность элем., или упорядоченность Тип Совокупность (модально) соотносящихся событий Совокупность последовательно наступающих взаимно соотносящихся событий Исчисленная вероятность

Таблица 3 ч.

СТАНОВЛЕНИЕ Перво-принцип Принцип Становление Ставшее (закон и условие измерений) Выражен[ие] НЕПРЕРЫВНОСТЬ Операция или преобразование Последовательность операций, или система преобразований Самотожд. разл. (проективная геом.) подв. п[окой] (топология) Определенность (аффинная геом.) Геом. подобных образований Общеметрич. геометрия Последовательность операций, или система преобразований Общ[ая] измеримость множества Закон больших чисел

Таблица 4 ч.

Ставшее (условие и закон измеримости = тождеству направлений становления) Выразительная форма = тождество внутр. – внеш. направлен. = система систем преобр. Ассоциат., коммут. и дистриб. законы Группы, модули, кольца, поля Конгруэнция фигур Аксиома параллельности (разные пространства) Конгруэнция множеств (resp. аксиома произв[ольного] выбора) Метризованные множества Конгруэнция вероятностей ("аксиома несовместим. событий") Законы распределения вероятностей

IV.

ФУНКЦИЯ И СОСЕДНИЕ КАТЕГОРИИ

(ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ, УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ВЫРАЖЕНИЕ)

§ 75.

Определение и суждение