Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

понятие контрреволюции, и из этого получилось отграничение контрреволюции ото всего другого, и тем самым в проведенных границах образовалась возможность появления отдельных видов контрреволюции. Тут могли быть архиереи, проститутки, кантианцы, фабриканты, содержатели притонов и пр. и пр. Мы совершаем некий определенный акт полагания в этой общей, но строго отграниченной области и получаем специальный вид контрреволюции – идеализм. Но пусть теперь мы положим не понятие, а некое содержание, – например, суждение

«все идеалисты – контрреволюционеры».

Это значит, что мы очертили, отграничили новую область, которая благодаря именно своей отграниченности оказывается склонной к дроблению, к дальнейшему выявлению деталей. Среди идеалистов могут оказаться Деборины, Лупполы, Лосевы и т.д. Если мы совершим какой-нибудь акт полагания уже в этой только что отграниченной области, то это сейчас же приведет нас не к суждению (которое мы уже имели), но к совершенно иному логическому построению, к умозаключению. И мы получим:

Все идеалисты – контрреволюционеры.

[Лосев] – идеалист.

[Лосев] – контрреволюционер.

В умозаключении (так же, как и относительно суждения) возможна большая расчлененность. Суждение может быть взято как исчерпанность всего смыслового содержания полагаемого понятия; тогда это не суждение, а определение. В первоначальной диалектической конструкции этому соответствует не становление вместе с тем, что именно участвует в становлении, но чистое становление, чистые акты полагания (независимо от полноты или неполноты полагаемого содержания). Точно так же и умозаключение. Оно может быть взято вместе со всем своим конкретным содержанием и может быть взято чисто инобытийно, просто как формальная объединенность двух или ряда суждений, просто как вообще положенность суждения. Этому будет соответствовать в первом случае ставшее вместе с тем, что именно тут «стало»; и во втором – чисто ставшее, чистый факт перехода от одного суждения к другому (независимо от того, каково именно смысловое содержание фиксируемой ставшести).

Если перво-принципу соответствует числовой перво-принцип, неразличимое перво-число, принципу (или понятию) – категориальная структура числа, определению – аксиоматика, суждению – отдельная математическая операция, определенному умозаключению – теорема вместе со своим доказательством, то чистому, голому умозаключению, из которого исключено все смысловое содержание и в котором оставлена только формальная последовательность суждений или актов полагания, этому умозаключению соответствует в математике понятие функции.

3.

Когда мы пишем в математике y = f(x) – что мы имеем в виду? Мы просто имеем в виду, что с x производится ряд действий. Пусть y = 3x2 + 5. Это значит, что мы возводим x в квадрат, умножаем его на 3 и к этому прибавляем еще 5. Совокупность всех этих действий с x и есть функция x. Но нужно ли для этого знать количественное значение x? Это совершенно не необходимо. Когда мы говорим, что y есть функция x, то этим мы как раз хотим сказать, что независимо от количественного значения x, [величина] y именно вот таким, а не иным образом зависит от x. Функция и есть эта зависимость между y и x, рассматриваемая совершенно без всякого учета их количественного содержания.

Ясно, что это та же картина, что и в чистом умозаключении. Беря чистое умозаключение, мы оперируем только с формальной последовательностью суждений; и так как в диалектическом смысле суждение есть становящееся полагание, то умозаключение как объединенность разных становлений есть, очевидно, не само становление, но его результат, т.е. не становление, а ставшее или, как еще иначе называют в диалектике эту категорию, наличное бытие. Это акт полагания как ставшее. Если бы мы имели в виду все смысловое содержание данного акта полагания, то нам пришлось бы выставить много разных суждений и, точно соблюдая их последовательность, дать такой вывод, который в точности бы соответствовал исходному акту полагания. Тогда это было бы доказательством исходного положения. Таково доказательство любой математической теоремы. Но мы тут отвлекаемся от смыслового содержания данного положения, и его законченное доказательство рассыпается на ряд отдельных умозаключений. Это и суть не [что] иное, как отдельные функции.

В функции y = 3x2 + 5 мы задачей имеем такие умозаключения:

1) y зависит от x,

· но x тут взят как x2. След., y зависит от x2;

2) y зависит от x2,

· но x2 взят тут как 3x2. След., y зависит от 3x2;

3) y зависит от 3x2,

· но 3x2 взято здесь как 3x2 + 5. След., y зависит от 3x2 + 5.

Это наглядно показывает нам, что логическая сущность функции есть умозаключение. Функция есть строгое инобытие числа, и, вернее, не числа, а числовой операции. Само число – непосредственно; числовое, т.е. арифметически-числовое, бытие есть непосредственная числовая значимость. Числовая операция есть также бытие непосредственное. Таков натуральный ряд чисел и все арифметические числа вообще, таковы и все арифметические операции. Когда мы говорим «2» или «10» или «3 + 5» или «3/5» и пр., мы оперируем с непосредственным бытием, с непосредственной числовой значимостью. Когда же мы переходим к функции, то как раз эта непосредственная числовая значимость и пропадает. Число превращается в то, о чем ровно никакого суждения не высказывается в смысле непосредственной значимости, превращается в то, что может иметь какое угодно непосредственное значение, в x; и все действия, которые над этим x производятся, суть действия опосредствованные, т.е. без всякого числового результата. Потому и действия эти, будучи сами по себе тоже бытием непосредственным (если их брать самостоятельно), становятся здесь характеристикой опосредствованной значимости бытия, чем-то в глубочайшем смысле инобытийным в отношении числа и числовых операций. Это судьба чисел в инобытии, взятая без всяких чисел; голая фактическая (потому здесь – «ставшее») положенность числа и его операций – без непосредственной данности самих чисел.

Итак, совершенно точно нужно сказать, что функция есть число, взятое как чистое умозаключение вне всякой непосредственной значимости того, что участвует в данном умозаключении. Непосредственная же значимость числа, данная как заполненное определенным содержанием умозаключение, есть уже не функция, а доказанная теорема.

§ 77.

Функционал и алгоритм

(уравнение)

1.

С диалектической необходимостью мы приходим наконец и к выразительному числу, к выражению, вернее, к числу как выражению. Если понятию соответствует категориальная структура числа, определению – аксиома, суждению – действие и теорема, умозаключению – функция и доказательство, то что же соответствует последней категории из принятых нами основных – выражению?

Выражение отличается от абстрактного смыслового содержания тем, что оно есть не мыслимое только, но еще и понимаемое. Понимать – значит отождествлять свое сознание с предметом