Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

1.

В предыдущем мы рассмотрели число как перво-принцип (отграничивши его от всего, что не есть число), число как принцип, или как понятие (раскрывши его диалектическую структуру), и число как суждение (установивши все основоположения, вытекающие из его структуры как категориальной). Из общей логики, да также из элементарного рассуждения мы знаем, однако, что суждение – отнюдь не последняя логическая форма, что дальше, в порядке усложнения, следует т.н. умозаключение, а после этого умозаключения еще по крайней мере одна структура, это доказательство – индуктивное, дедуктивное и синтетическое. Так как мы преследуем цели логической системы, то невозможно обойти молчанием число как умозаключение и число [как] доказательство.

Здесь, однако, полезно вспомнить первые общедиалектические категории, которые являлись и еще много раз будут являться для нас руководящей нитью для нашей системы. Именно, припомним, что бытие, истекающее из перво-бытия и противостоящее инобытию, синтезируется с ним в становление, а становление, противополагаясь и синтезируясь со своим собственным инобытием, порождает ставшее или наличное бытие, факт и в дальнейшем – выражение, энергийно-смысловое выражение. Эта элементарная диалектическая структура должна быть проведена и в отношении всего понятия числа еще до перехода к конкретно-математическим наукам. До сих пор, как сказано, мы разбирали только три первых момента этой структуры – перво-принцип, понятие и суждение. Что же такое тут будет умозаключение, если его понимать как переход от смыслового становления к смысловому ставшему? Здесь нужны, однако, предварительные разъяснения и условия.

Чем, в сущности, занималась аксиоматика и что такое аксиома? До сих пор мы попросту говорили, что числу, как суждению, соответствует аксиома. Сейчас же этот вопрос необходимо расчленить, так как иначе не будет понятен переход к умозаключению.

Именно, суждение есть, как мы знаем, положенное понятие. Положить, или утвердить, – это значит обвести границей, определить. Строго говоря, в том, что мы до сих пор называли суждением, самым важным был именно этот момент определения. Аксиома, строго говоря, и есть не столько суждение вообще, сколько именно определение. Ведь бытие и инобытие, синтезируясь в становление, дают еще более ранний синтез, т.е. предшествующий становлению и являющийся его предусловием, это сама граница, определенность, определенное бытие. Мы знаем, что тот и другой синтез могут выдвигаться по мере надобности. Так вот, говоря о суждении, дедуцируя аксиоматику, мы еще не имели нужды в том расчленении и могли говорить о суждении, не обращая особенного внимания на то, есть ли это действительно суждение вообще или это специально определение.

Суждение отличается от определения так, как становление отличается от определенного бытия. В определении суждение есть положенное понятие плюс его исчерпывающее раскрытие; т.е. положенность не вообще понятия, но понятия во всем его смысловом содержании. Определить что-нибудь – это и значит исчерпать все его «признаки». Для суждения же этого вовсе не требуется. Суждение дает только голую положенность понятия – независимо от раскрытия и исчерпания всего его содержания. Содержание остается нераскрытым; содержание мыслится – каким угодно становящимся, и акт полагания понятия скользит по этому полю инобытия – как угодно далеко. Если говорится: «Иван спит», то ведь таких предицирований может быть сколько угодно, и тут не ставится никаких целей исчерпания того смыслового содержания, которое зафиксировано в слове «Иван».

Итак, если иметь в виду определенность положенного понятия, то мы получаем не суждение вообще, но определение. А если иметь в виду главным образом чистую положенность понятия, то мы получаем суждение.

2.

Однако и тут вполне позволительна и даже совершенно необходима еще одна дистинкция. Кроме положенности, адекватно исчерпывающей полагаемое, и положенности как простого факта полагания, как пустой и голой положенности, возможна еще та или другая степень наполнения положенности. Положенности может давать и не голый факт полагания, и [не] все полагаемое содержание целиком, а только некоторое содержание, частичное содержание. В таком случае необходимо расчленить и соответствующие математические понятия. Голая положенности понятая (т.е. в нашем случае числа) даст, очевидно, некую модификацию числа, а так как полагание в данном диалектическом месте есть полагание становления, становящееся полагание, то голая положенности числа приведет к становлению из прежнего, полагаемого числа в новое, модифицированное число. Такой непосредственный переход от одного непосредственно значимого числа к другому непосредственно значимому числу есть действие, операция (напр., сложение, умножение, дифференцирование и пр.). Та или другая степень наполнения этих операций и новое осмысление их через операционно выставленное понятие даст уже не просто самые операции, но их предназначенность для какой-нибудь специальной числовой установки. Это и будет теорема. Таким образом, математическая операция есть число, данное в своем чистом становлении из одного числа другим, или просто чистое становление одного числа другим; другими словами – это числовое понятие (число), данное как чистое становление. Математическая же теорема есть число, данное в своем заполненном становлении из одного другим, или, проще, заполненное становление одного числа другим, это числовое понятие (число), данное как заполненное становление. Тогда аксиома – это число, данное [как] самоадекватная определенность; это числовое понятие (число), данное как определенность числа.

Ясно, что выставленные в предыдущем исследовании аксиомы суть именно определения, а не суждения вообще. Суждение более ослабленно, чем определение; оно – частичнее и неопределеннее. Суждению в математике соответствуют не аксиомы, а более частные положения, менее общие. Сюда относятся все математические операции со всеми соответствующими теоремами – все то, что выводится из аксиом как их более частный случай.

Но здесь возможно еще одно членение, так как ставшее становление можно взять и со всем тем, что именно участвует в этом ставшем становлении, можно взять и как голый факт ставшеста. И вот тогда-то мы переходим к умозаключению и к новому математическому понятию, к функции.

§ 76.

Понятие функции

1.

Как суждение относится к определению, так умозаключение относится к суждению. Все же это есть повторение того, как суждение относится к понятию и как, наконец, понятие – к своему перво-принципу. Везде тут главным условием появления новой категории является акт полагания предыдущей категории. Перво-принцип полагает себя – образуется понятие, поскольку последнее есть совокупность признаков (т.е. некая определенность, т.е. ограниченность, т.е. положенность) и исчерпание, различение того, что само по себе неразличимо. Понятие полагает себя – образуется определение, в котором подчеркнута эта его исчерпанность. Определение полагает себя – образуется переход к становящемуся перечислению признаков, или суждение. Суждение образует себя – образуется умозаключение.

2.

Когда высказывается:

«Все идеалисты – контрреволюционеры»,

то это значит, что на общем фоне контрреволюции полагается понятие идеализма; отсюда это суждение об идеалистах. Сначала было положено