Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Таким образом, бесконечного числа на этом пути мы не можем достигнуть. Тут повторяется, собственно говоря, то же бессилие, что и в случае с целым числом. В крайнем случае чистое инобытие приводит к беспредельному становлению, при котором ни о какой новой точке становления нельзя сказать, что эта точка бесконечно удалена от начала становления. Инобытие делает как бы бессильный жест в сторону бесконечности, но не дает самой бесконечности. Расширяясь и расплываясь вместе с инобытием, мы как бы в изнеможении кончаем это непрерывное становление и от усталости не можем двигаться дальше, делая беспомощный жест, что вот там, в той стороне есть еще новые этапы пути, нами не изведанные, и что если бы мы двигались дальше, то достигли бы и этих этапов. Есть ли такое состояние мысли – мысль о бесконечности? Конечно, нет. Это, как и движение по натуральному ряду чисел, есть не конструкция бесконечности, а лишь бессильный жест в сторону бесконечности и полная невозможность сказать о ней что-нибудь положительное.

b) В распоряжении диалектического метода остается только один путь – искать понятие бесконечности на почве объединения чистого числа с его инобытием. Однако и здесь необходимо уточнение. Более всего очевидным кажется такое положение дела, когда инобытие мыслится хотя и вместе с бытием, но не тождественно с ним, а только рядом с ним, возле него; бытие мыслится как некий устойчивый берег, а инобытие омывает его в виде некоего моря, плещется своими непрестанными волнами алогического становления. Такая картина ровно ничего не дает для конструкции понятия бесконечности. Она сводится к предыдущим двум, вполне недостаточным (как мы видели) установкам на бесконечность. Значит, надо брать какое-то иное объединение числа вообще и числового инобытия.

c) Иное объединение можно получить только тогда, если мы возьмем две взятые смысловые стихии не рядом одна с другой и не возле одна другой, а одна внутри другой. При этом если бытие дается внутри инобытия, то эта позиция опять-таки ничего не дает нового, так как она сводится к уже упомянутой картине твердого берега бытия, омываемого подвижным и алогическим становлением инобытия. Тут получится как бы остров среди моря; и остров – просто конечен, а о море в собственном смысле ничего не известно, конечное ли оно или бесконечное. Не видеть берегов – это еще не значит иметь перед собой действительно бесконечную водную поверхность. Остается, стало быть, последний путь – не бытие поместить внутри инобытия, а инобытие – внутри бытия. Дает ли нам что-нибудь для получения категории бесконечного числа эта новая диалектическая позиция?

d) Прежде всего, в этой позиции хорошо уже то одно, что перед нами возникает осмысленный и обозримый предмет и получается возможность мыслить и утверждать что-нибудь (а в том числе, следовательно, и бесконечность), в то время как инобытие, ничем не сдерживаемое и никакими пределами не ограниченное, совершенно не способно привести нас к какому-нибудь осмысленному утверждению. Но, разумеется, этого мало. Что тут мы утверждаем нечто, это в данном случае имеет второстепенный интерес (хотя все колоссальное значение этого обстоятельства выяснится нами в наших ближайших же рассуждениях). Важнее другое обстоятельство, возникающее на нашей новой позиции, а именно то, что тут мы вообще получаем возможность поставить бытие и инобытие в ближайшие взаимоотношения. Эти ближайшие взаимоотношения мы можем здесь трактовать опять-таки различно.

e) Во-первых, возможно установление позиции простого становления бытия и инобытия: наблюдая, как инобытие бурлит и плещется внутри четко ограниченного и определенного бытия, мы устанавливаем все эти резко бьющие в глаза различия и антитезы, – устойчивости и движения, смысла и алогического начала, раздельности и сплоченности и т.д. Эта позиция также дает для нашей цели маловато. Сколько бы мы ни сравнивали оба принципа, это сравнение будет проходить совершенно без всякой помощи со стороны категории бесконечности, и, следовательно, в этой категории никак не ощутится та или иная надобность. Остается другой путь – не просто сравнивать эти два принципа, а попытаться слить их в одно начало, пронизать одно другим, растворить одно с другим, получить нечто единое в твердо очерченных и четких контурах.

3.

Тут прежде всего надо разрешить предрассудок, что обозримость и четкость формы вещи лишает ее бесконечности. Обыкновенно бесконечность считают туманом и неясным мраком, а конечное – очень понятным и четким. Это мелкобуржуазное воззрение въелось в плоть и в кровь всякого философа из толпы. На самом же деле это полный вздор. Нет ничего общего между тем и другим. Если вы не видите конца или границы данной вещи, значит ли это, что она – бесконечна? Стоя на берегу моря, мы не видим его берегов. Однако это объясняется отнюдь не бесконечными размерами морской поверхности (она вполне конечна, и притом точно исчислена), но совершенно другими причинами (кривизна поверхности моря и слабость человеческого зрения). Значит, в этом отношении бесконечность и необозримость ничего общего не имеют между собою. Но точно так же, как нельзя из необозримости выводить бесконечности, нельзя и из бесконечности выводить ее необозримость. Что такое необозримость? Если иметь в виду какой-нибудь орган внешних чувств, например то же зрение, то наша чувствительность вообще весьма ограниченна, и не на ней мы базируем свои научные выводы. Любое отвлеченно-математическое построение (например, решение уравнения) отнюдь не обладает чертами зрительной данности, если брать его по существу. А если это решение мы выражаем условными знаками (которые видимы, зримы), то и операции с бесконечностью мы можем выражать и выражаем условными знаками (которые точно так же видимы и обозримы). Следовательно, под обозримостью остается понимать только чувственную, мыслительскую четкость и ясность. Но нечетким и неясным может быть только то, что не имеет никакого смысла и никак не мыслится. Бесконечность имеет смысл и ясно мыслится. Это одно из самых обыкновенных понятий диалектики и математики. Почему же она вдруг необозрима?

Единственный здравый смысл, который можно вложить в учение о необозримости бесконечного числа, – это то, что оно необозримо для нас чисто лично, фактически, необозримо жизненно, житейски. В самом деле, кто бы я ни был, я не могу, например, пройти бесконечное количество километров, не могу видеть на расстоянии бесконечного количества километров, не могу поднять бесконечное количество килограммов, не могу пересчитать бесконечное количество чисел и т.д. и т.д. Но эта житейская невозможность обнять фактическую бесконечность не имеет ничего общего с мыслительной невозможностью понять самую категорию бесконечности. Иначе мы должны рассуждать так, что если жжется огонь, то жжется и понятие огня, или что если тонна тяжелее килограмма, то и понятие тонны тяжелее понятия килограмма, или что