Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

бесконечности получить не можем. Сколько бы мы ни «утверждали» чисел и сколько бы их ни «отрицали», т.е., другими словами, сколько бы мы ни считали, мы никогда не достигнем этим способом бесконечного числа. Значит, центр тяжести переходит здесь с внешней судьбы числа на его внутреннее содержание. Ясно также и то, что бесконечность, будучи внутренним содержанием числа, является, несомненно, раскрытием этого содержания, и притом полным и всецелым раскрытием. Это вполне можно утверждать, даже не вникая во все подробности предложенной выше диалектики. Но тогда с полной необходимостью вытекает еще и тот вывод, что число с таким внутренним содержанием есть нечто синтетическое, т.е. синтез тоже некоего утверждения и некоего отрицания, но уже не в смысле нуля, а в другом смысле. И этот другой смысл всецело только и определяется тем, что здесь мы в атмосфере внутреннего числового содержания, а в случае с нулем вращались только в сфере внешней судьбы чисел.

b) Именно, мы должны утверждать целость и отрицать целость и дать то, что не есть ни то и ни другое, а некий своеобразный внутренний нуль. Утверждая целость числа, мы сохраняем его структурное единство; но, отрицая его, мы расслояем его на неразличимый хаос дологической текучести. И когда уже задаемся вопросом о синтезировании такого утверждения и такого отрицания, то прежнюю структурную целость приходится понимать как неразличимо и безгранично становящуюся, т.е. как бесконечность. Отсюда можно сказать, что бесконечность тоже есть некоторый нуль, но только этот нуль дан тут в своем внутреннем раскрытии. Она так же внутри себя неразличима и не расчленена, как неразличим и нерасчленим и нуль. Но нуль есть внешняя сторона бесконечности, а бесконечность – внутреннее его выявление, внутренне развернутый нуль. Бесконечность, как и нуль, точно так же совмещает в себе утверждение и отрицание.

Но нуль есть внешнее тождество утверждения и отрицания, а бесконечность – внутренний смысл этого тождества, внутренно развернутое тождество утверждения и отрицания, существенно и внутренно развернутый нуль.

2.

a) Из общей диалектики известна характеристика синтеза как границы. На нуле мы видели это очень отчетливо, потому что даже в ходовой математике нуль трактуется как граница между положительными и отрицательными числами. В отношении бесконечности это не очевидно само собой, и поэтому тут необходимы разъяснения. Бесконечность есть синтез целого и дробного; и, стало быть, необходимо, чтобы она была границей, отделяющей целое число от дробного, границей, оформляющей целое в его полном отличии от частей. Что это значит? Это значит то, что от целого никаким конечным процессом нельзя дойти до частей. Тут имеется в виду, конечно, не просто арифметическая невозможность, потому что арифметически взял да и разделил целую единицу на какие угодно части, никаких трудностей здесь не встречается. Тут имеется в виду невозможность свести самое понятие целого на отдельные части, невозможность по самому смыслу сводить целое на отдельные части. При наличии этой невозможности, что бы мы ни проделывали с целым, мы никогда не получим дробного и частей, потому что эти категории различны между собою чисто качественно. Целое по самому качеству своему есть нечто иное, чем часть, а не только просто по количеству. Так вот, диалектическое место бесконечности и требует того, чтобы между целым и отдельной частью залегал бесконечный процесс приближения целого к этой части, ибо только в бесконечности можно количественно перейти от целого к отдельным частям. В этом смысле и необходимо утверждать, что бесконечность есть граница между целым и дробным.

b) Не нужно смущаться, что это очень большая граница. Прежде всего, она настолько же большая, насколько и малая, потому что бесконечность может быть и бесконечно большим числом, и бесконечно малым числом. И целое отстоит от своих частей, во-первых, на бесконечно далеком расстоянии, а во-вторых, на бесконечно малом; можно и без конца трудиться над переходом от части к целому – и никогда не дойти до этого целого; и можно в одно мгновение перейти от целого к части или от части к целому, невзирая ни на какие различия между тем и другим. Кроме же того, если бы расстояние между целым и дробным было только бесконечно большим (а еще в то же время и не бесконечно малым), то и в этом случае бесконечность с полным правом можно было бы назвать границей целого и дробного, ибо бесконечность действительно есть та область, которая является пограничной между целым и частями, между целым и дробным.

c) Нуль – граница между положительным и отрицательным; бесконечность – граница между целым и частями. Но если бесконечность есть, как мы видели, вообще развернутый нуль, то и в смысле границы бесконечность есть развернутый нуль. Бесконечность есть развернутая граница, в которой совпадало утверждение и отрицание; потому она – целая область, в которой совпадает утверждение и отрицание. Мы уже знаем, о каком утверждении и о каком отрицании может идти речь в применении к категории бесконечности.

3.

a) Если число понимать чисто счетно и количественно, то, очевидно, бесконечность не есть число; и самое соединение слов «бесконечное число» бессмысленно. Дело в том, что бесконечность по самому качеству своему есть нечто иное, чем какое-нибудь количественное число. Всякое число конечно, и самое большое, и самое малое. Бесконечность с этой точки зрения совсем не есть число. Всякое число есть строго координированная раздельность и различенность. Бесконечность неразличима внутри себя самой и, значит, совсем не есть число. Конечные числа изменяются при операциях сложения и вычитания и пр. Бесконечность или совсем не реагирует на эти действия, или реагирует совершенно оригинально, так что обычные арифметические правила оказываются неприменимыми к бесконечности. Об этих действиях с бесконечными числами стоит говорить специально, но сейчас достаточно привести хотя бы один простейший пример, обнаруживающий полную смысловую оригинальность этого понятия.

Уже из элементарных рассуждений о бесконечности хорошо известно, что

∞ + A = ∞ – A = ∞.

Этот невинный пример доставляет очень много хлопот для логического анализа; и тут нужно двинуть аппарат, не меньший, чем тот, который использован нами выше. Пример этот показывает, что, сколько мы ни будем прибавлять к бесконечности конечных чисел и сколько ни будем их отнимать от нее, она все равно остается без перемен. Это говорит об очень многом. Прежде всего, данный пример прекрасно иллюстрирует наше основное учение о том, что в бесконечности часть и целое равны между собою. Действительно, та бесконечность, которая является одним из слагаемых, есть, по самому смыслу операции сложения, часть той бесконечности, которая в этом примере оказывается суммой. Ведь сумма больше каждого из своих слагаемых.