Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

порождает, изводя из своей темной глубины развитую и расчлененную, развернутую систему конкретного бытия. Бесконечность нерасчленима; инобытие же, нуль, есть принцип расчленения, ибо «ничто», объединяясь с «бытием», вносит в него раздельность и превращает в «нечто». В умножении множимое механически переносится, как оно есть, во внешнее инобытие, и множитель показывает, как происходит этот перенос. Когда же число возводится в степень, оно умножается само на себя, и, следовательно, в инобытии оно определяется не чем-нибудь иным, но самим же собой. А это есть признак организма – расти из себя самого в инобытийной сфере.

Вот почему последнее из указанных равенств с некоторой точки зрения еще лучше выражает непосредственную жизнь понятия, органически растущего в окружающем его инобытии из самого себя, преодолевая тьму алогически становящегося инобытия и возводя его вместо замкнутой и скрытой бесконечности в развернутую и конкретную вещь.

6.

a) Можно сказать, что с точки зрения диалектики все вообще в одинаковой мере и конечно, и бесконечно. Конечную величину, несмотря на ее вполне конечные и ограниченные пределы, можно наполнить внутренним алогическим содержанием, которое необходимо явится бесконечностью, потому что между каждыми двумя точками этого внутреннего содержания можно всегда найти еще и третью ввиду его сплошности и текучести.

Таким образом, нет никакого труда мыслить бесконечность в пределах конечности. Но точно так же необходимо установить, что и всякая бесконечность не может не быть в каком-то смысле конечной, потому что с диалектической точки зрения она всегда есть нечто, а нечто, отличаясь от всего иного, что его окружает, всегда имеет с ним определенную границу и уже по одному этому является ограниченным.

Всякая бесконечность так или иначе ограничена.

Это, как мы видим, входит в самое существо ее понятия. И уже потом, когда мы получили понятие бесконечности, только тогда можно переходить к инобытию бесконечности, т.е. лишать ее определенности и ограниченности и погружать в чистое становление. Положительное понимание бесконечности (как оформленного становления) предшествует всякому отрицательному ее пониманию. Нужно сначала сконструировать самое понятие бесконечности, а уже потом говорить о ее всевозможных модификациях. А впервые сконструировать понятие бесконечности совершенно нельзя без внесения момента гипостазированного оформления в чистое становление.

b) Отсюда нужно различать по крайней мере три типа бесконечности, связанные между собой диалектически.

Первый тип бесконечности есть та основная бесконечность, которую мы вывели в нашем учении о бесконечности и которая есть синтез целого и дробного, когда они, целое и отдельные части, взаимно вполне эквивалентны. Тут целое и часть объединены как оформленно-ставшее алогическое становление, и тут развернуто числовое бытие и числовое (внутреннее) инобытие (алогическое становление), но не развернута сама полученная бесконечность, а пребывает сама по себе, вне всякого взаимоотношения с каким-нибудь новым инобытием. Это бесконечность отвлеченно-смысловая, или арифметическая.

Второй тип бесконечности переводит первую бесконечность в новое понятие, в алогическое становление, лишает ее формы и границы и есть чистое протекание и подвижность, неуловимо наступающая, безразличная сплошность. Это и есть предмет т.н. математического анализа, т.е. дифференциального и интегрального исчисления. Это потенциальная бесконечность.

Третий тип бесконечности синтезирует оба упомянутые и совмещает оформление и строй первого типа с напряженной текучестью и алогизмом второго типа. Оформление тут становится оформлением бесконечной устремленности, и притом оформлением не скрытым, но выявленным и положенным, а становление и текучий алогизм второго типа [переходит] в смысловую актуальную направленность четкой и конечной формы. Это актуальная бесконечность.

Каждая из этих бесконечностей является предметом специальных математических наук, о которых должна идти речь отдельно.

7.

a) Заметим, что, собственно говоря, до сих пор мы еще не вывели категории конечного числа. Мы имели целое число, дробное число и бесконечное число, но мы еще не имели конечное число. Правда, мы говорили о конечности, но именно о конечности, а не о конечном числе, и, собственно говоря, тут была даже и не «конечность», а скорее определенность, четкая ограниченность, расчлененность. Категория бесконечности в смысле диалектического анализа является категорией более простой и более близкой к началу, чем категория конечного числа.

Чтобы получить конечное число в собственном смысле слова, необходимо саму бесконечность погрузить в новое инобытие, с тем чтобы иметь возможность извлечь из безразличной сплошности бесконечного числа отдельные, уже строго изолированные, конечные моменты.

Как о свете, которому никак не причастна никакая точка, нельзя говорить как о чем-то конечном (ибо в нем не может быть ни каких-либо внутренних различий, ни отличия его от чего-нибудь, ибо иное было бы уже не светом, т.е. только точкою), так и о бесконечности как таковой не может быть никакой конечной предикации, а возникает всякое конечное число, как мы уже видели на анализе равенства ∞ · 0 = A, лишь в результате того или иного объединения бесконечности с ее собственным инобытием. От этого объединения образуется возможность уже меонального расчленения бесконечности, т.е. возможность появления конечного числа.

b) Конечное число, стало быть, [есть] та или иная форма объединения бесконечности с нулем, или относительное тождество бесконечности с ее собственным инобытием, относительное (т.е. некоторое, то или иное) тождество бесконечности и нуля. Необходимо в этом определении обратить самое серьезное внимание на момент относительного тождества. Относительность указывает здесь на частичность, на неполноту тождества. Бесконечность не прямо отождествляется с нулем, так, чтобы уже появилась совершенно новая категория, но конструируется только лишь степень бесконечности, ее сокращение и убыль в связи с привхождением в нее инобытийных различий. Что же касается абсолютного тождества бесконечности и нуля, то тут действительно рождается совершенно новая диалектическая категория; и о ней должен идти разговор совершенно самостоятельно.

c) Непривхождение внешнего инобытия в бесконечность обусловливает также и характерную для нее эквивалентность части и целого. Эту эквивалентность мы уже вывели раньше как бы сверху, т.е. из более общих предпосылок. Но ее можно обосновать также и «снизу», анализируя отсутствие в бесконечности внешнего меона, который как раз и вносит в нее это количественное дробление и наличие дискретных частей. Раз нет этого начала, разрывающего бесконечность на абсолютно изолированные одна от другой части, то наличная в чистой бесконечности раздельность остается чисто смысловой расчлененностью целого, пребывающей в абсолютном синтезе расчленяемого, без всякого перехода в какую бы то ни было механическую внеположность, которая бы превращала все расчленяемое в дискретное и взаимно изолированное. Поэтому сама по себе бесконечность абсолютно неприступна ни для какого дробления; и все различия, свойственные ей, нисколько не нарушают ее повсюдной и абсолютной самотождественности. В ней различаются, например, центр и периферия, но они в то же время решительно совпадают, и нет никакой возможности понимать их как внешнераздельные точки. В ней различаются движение и покой,