Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок

сети. В архаические времена этот парадокс был подмечен и сформулирован в «Аватамсака-сутре». В пересказе сэра Чарлза Элиота фрагмент «Аватамсака-сутры» звучит так: «В небесах Индры есть жемчужная сеть, и жемчужины эти расположены таким образом, что, посмотрев на одну из них, узришь в отражении на ее поверхности все остальные».

Вообразите бриллиантовую сеть, в каждом узле которой находится бриллиант: в его гранях отражаются все бриллианты, и сам он тоже отражается во всех остальных бриллиантах. Бриллианты находятся в движении, но их движение согласовано таким образом, что в любой момент каждый бриллиант отражается во всех остальных. Эта фантастическая бриллиантовая паутина нависает над дворцом бога Индры.

В теории комплексных диссипативных динамических систем сложилось представление, которое в целом напоминает сеть бога Индры. Траектории диссипативной динамической системы, выходящие из различных начальных точек, с течением времени сгущаются в некоторых сравнительно небольших областях фазового пространства. Эти области называют аттракторами. Термин «аттрактор» происходит от английского слова attract, что значит притягивать. Точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы, есть аттрактор. Аттрактор — это геометрический образ устойчивого поведения динамической системы, который притягивает на свою орбиту поведение других частей системы, первоначальное поведение которых совершенно отлично от поведения систем на аттракторе. Аттрактор — это пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс. Аттрактор — это и причина, и следствие. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы.

Если нет существенных внешних возмущений, то траектории динамических систем, попав в область аттрактора, остаются в ней постоянно. Картина напоминает ситуацию в бассейне реки или моря — потоки воды сливаются в реки, которые впадают в море. Поэтому область притяжения, в которых траектории стремятся к одному или нескольким аттракторам, называют бассейном аттракторов. Попав в бассейн аттрактора, динамическая система не может его покинуть. Аттрактор притягивает к себе динамические системы, как черные дыры притягивают материю, волны и даже свет. Каким бы ни было начальное состояние системы, оно будет «забыто». После поглощения системы аттрактором мы сможем сказать лишь то, что оно «где-то на аттракторе». Можно выделить несколько типовых по своей структуре аттракторов.

Простейшим видом асимптотического поведения является состояние равновесия, которому соответствует неподвижная точка в фазовом пространстве. Такой аттрактор называется точечным. Это, например, точка равновесия для маятника с трением. Более сложным является периодическое поведение, которому соответствует круговой аттрактор. Например, орбита в задаче Ньютона о вращении одного тела относительно другого. Еще более замысловато, чем движение по кругу, выглядит циклическое движение на поверхности тора. Спиралевидные круги после множества оборотов возвращаются в исходную точку, и цикл повторяется. Гораздо более сложными являются квазипериодические колебания, когда в системе наблюдаются две частоты ω1 и ω2, причем их отношение ω1/ω2 — иррациональное число. Эта ситуация реализуется, только если размерность фазового пространства не меньше трех. Асимптотическое поведение такой системы соответствует заполнению траекторией поверхности двухмерного тора. Так, ни одна весна не походит на другую. Но каждый год возвращается весна. Ни один поворот планеты вокруг Солнца не тождественен другим, ибо отклонения изменяют линию орбиты, изменяется тело планеты, изменяется Солнце, вся планетная система передвигается в мировом пространстве, тем не менее каждая планета вращается вокруг своего Солнца по постоянной орбите.

Далее степень сложности может нарастать при увеличении числа независимых частот. Траектория при этом может заполнять трехмерный, четырехмерный и многомерный тор.

Это довольно сложные траектории, но они много проще тех траекторий, которые производит странный аттрактор. Термин и понятие «странный аттрактор» распространились сразу после появления в 1971 году статьи француза Давида Рюэлля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности». Эта статья изменила парадигму понимания турбулентности, созданную Ландау и общепринятую на тот момент в научном сообществе.

Странный аттрактор Давида Рюэлля

Суть этой классической парадигмы в том, что турбулентный поток представляет собой суперпозицию вихрей всех возможных масштабов, т. е. число степеней свободы системы бесконечно. Вместо рассмотрения системы перекрывающих друг друга вихрей в 1970-х годах Рюэлль и Такенс предположили, что может существовать аттрактор с набором характеристик турбулентного потока: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и иррегулярностью. Исходя из математических резонов, Рюэлль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать, хотя они никогда не видели и не изображали его. Упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом степеней свободы, многие физики посчитали ересью.

С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, ее аттрактор должен быть фракталом. На тот момент фракталов еще не существовало, но геометрические формы с требуемыми свойствами уже были — «пыль Кантора», «снежинка Коха», «ковер Серпинского». Более того, уже в 1963 году Эдвард Лоренц описал подобный объект — устойчивую, иррегулярную траекторию с ограниченным числом степеней свободы — в метеорологии. Траектория Лоренца была устойчивой, непериодической, имела малое число степеней свободы и никогда не пересекала саму себя. Если бы пересечение случилось, то движение в дальнейшем имело бы периодический характер, но такого не происходило.

Именно такой объект Давид Рюэлль назвал «странным аттрактором». Траектории на таком аттракторе ведут себя довольно странно. Если в начальный момент выделить некоторый малый объем — «каплю» — в фазовом пространстве на странном аттракторе, то с течением времени эта «капля» размажется по всему аттрактору. Такое интенсивное перемешивание указывает на то, что любые близкие траектории быстро расходятся, иными словами, они локально неустойчивы. Следствием этого является существенная зависимость от начальных условий: малейшее изменение начальных условий существенно влияет на положение системы в процессе ее эволюции.

Странный аттрактор, по определению Рюэлля, демонстрирует три качества, друг к другу не сводимых, но на практике существующих вместе:

• фрактальность (вложенность, подобие, согласованность);

• детерминированность (зависимость от начальных условий);

• сингулярность (конечное число определяющих параметров).

Поясним эти «странные» признаки аттрактора Рюэлля.

Прежде всего «странный» аттрактор выглядит странно. Он представляет собой бесконечное число петель и спиралей, которые постоянно друг от друга удаляются, отстраняются и никогда друг с другом не пересекаются (неповторимость) в ограниченном пространстве. Он содержит все масштабы, он бесконечен и при этом ограничен. Странные аттракторы фрактальны: ограниченная область заполняется непредсказуемо движущейся точкой, траектория которой порождает фигуру дробной размерности. При этом траектория на странном аттракторе ведет