Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок

FRAC(x) = X - Int(x).

Как логически следует из принципа действия оператора FRAC, полученное число больше или равно 0 и меньше 1.

Таким образом, очевидно, что числа, полученные нами в результате применения функций RND и FRAC, имеют одинаковый масштаб и ни одно из них не выделяется из ряда других и не выглядит небоскребом «Тайбей 101» в квартале одноэтажных халуп. Согласно центральной предельной теореме, сумма достаточно большого количества полученных случайных или псевдослучайных чисел будет иметь нормальное или близкое к нормальному распределение. На практике достаточно суммы всего шести таких чисел, чтобы получить случайную величину, которая может считаться нормальной.

Заметим, что псевдослучайность не лишена эстетической привлекательности. Так, программа MONDRIAN производит отрезки, положение, длина и ориентация которых задаются генератором случайных чисел. Результат — эскиз a la Mondrian, приведенный на соседней странице.

Компьютерный эскиз a la mondrian и работы Питера Мондриана «Буги-Вуги на Бродвее» (1942-1943), «Победа буги-вуги» (1942-1944).

Обратная связь

Типовая схема петли обратной связи показана на схеме. Она сводится к изменению переменного параметра х по правилу

х → ƒ(x)

при постоянном контролируемом параметре С. Единственное, что при этом требуется, — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон

xn+1 = ƒ (хn)

должен быть более сложным, чем простая пропорциональность

xn+1 = k хn.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения х0, то его результатом будет последовательность х1, х2 ... Эта последовательность может сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию стабильности и покоя. Но она же может выйти на некоторый цикл значений, которые будут повторяться вновь и вновь. Наконец, эта последовательность может вести себя непредсказуемо, хотя и предопределенно.

Процессы с обратной связью известны давно. Еще в Вавилоне люди оперировали простыми уравнениями для вычисления площади поля или поголовья стада. Это обыкновенные уравнения. Ньютон открыл технику дифференциальных уравнений.

Логистическое уравнение Ферхюльста

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т.е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера X и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к X. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения X, увеличиваясь, когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы. Собственно, именно на один из этих сюрпризов натолкнулся Лоренц в 1963 году, обнаружив странное поведение турбулентных потоков, когда коэффициент велик. Затем с подобными сюрпризами ученые встретились при исследовании лазера, гидродинамики и кинетики химических реакций.

Но вернемся к процессу Ферхюльста при большом коэффициенте роста. Прежде всего, когда параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате чего популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превышает 245%, начинается дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее до тех пор, пока для параметров, больших, чем 257%, не возникает хаос. Попросту говоря, система выходит из-под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень странная ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только «в принципе». Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере, можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. В процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность уменьшения длин интервалов изменения параметра роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода 2n к колебаниям периода 2n+1. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем с ростом n множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению (Гроссманн и Томэ, 1977):

δ = 4,669201660910...

Это число появляется снова и снова в разных процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число π для отношения длины окружности к ее диаметру, которое называют теперь «числом Фейгенбаума». Один из пионеров теории хаоса американец Митчелл Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос-Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он установил универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был один из создателей современной биоматематики биолог Роберт М.Мэй. Еще в 1976 году он писал: