Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок

себя довольно странно. Она постоянно изгибается, по случаю перепрыгивает от одного центра притяжения к другому, хаотически мечется взад и вперед. При этом ее поведение очень сильно зависит от начальных условий — той точки, из которой траектория берет свое начало.

Странный аттрактор Клиффорда

Фрагмент траектории хаотичен. Можно было бы предположить, что траектория осциллирует с произвольной частотой между центрами притяжения. Но это не так. Из всех возможных частот избираются только некоторые — так, что формируется система конечной размерности. Рюэлль в своей книге «Регулярная и хаотическая динамика» указывает на то, что колебания температуры в экваториальной зоне Тихого океана за 900 000 лет представляют собой странный аттрактор малой размерности. Локальные температуры являются результатом взаимодействия большого числа переменных, каждая из которых подвержена своему статистическому распределению. Однако небольшого числа независимых переменных достаточно, чтобы описать долговременные вариации климата.

Любая область странного аттрактора в процессе эволюции стягивается. Например, в трехмерном фазовом пространстве размерность аттрактора d < 3. Требование сильной зависимости от начальных условий обеспечивается только для аттракторов с размерностью d > 2. Таким образом, размерность хаотического аттрактора в трехмерном фазовом пространстве определяется неравенством 2 < d < 3. Это чисто техническое условие стягивает объект в ограниченную область.

Траектория динамической системы, попав в область «странного аттрактора», совершает причудливые маневры, ухитряясь никогда не пересекать саму себя, с собой не соприкасаться и при этом не выходить за пределы аттрактора. Траектория динамической системы при этом никакой гладкой поверхности в фазовом пространстве не заполняет. Будучи локализованной в небольшой области фазового пространства, она демонстрирует сложную структуру, определяющую весьма запутанное и одновременно точное и строгое поведение динамической системы. Такая филигранная точность предполагает существенную зависимость поведения траектории от начальных условий.

После появления работ Мандельброта стало ясно, что странный аттрактор есть траектория в поле фрактала. Открытия Мандельброта и Лоренца запустили процесс, в результате которого ученые и инженеры изменяют представление о мире вокруг нас. Физики, биологи, психологи, геологи, химики и механики на всех направлениях применяют фрактальную геометрию и хаотическую динамику для построения моделей, симуляций и манипуляций процессами и явлениями. Феномен настоящего заключается в том, что новые методы позволили вторгнуться на территорию, ранее неизвестную, — в область хаоса, турбулентности и свернутых пространств.

Динамический хаос

Хаотическим режимам присуща нерегулярность и, как следствие, непредсказуемость. Режим динамического хаоса и предопределен, и регулярен, но также непредсказуем. Динамический хаос ассоциируется с наличием странных аттракторов — сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из своего бассейна. Попав в область странного аттрактора, близкие траектории демонстрируют быстрое «разбегание» притом, что фазовый объем динамической системы не увеличивается. Любая сколь угодно малая область фазового пространства, выделенная в начальный момент, со временем «перемешивается», «распыляется» по всей области странного аттрактора. Происходит своего рода стирание памяти о начальном состоянии системы. Обратной стороной этого процесса является невозможность предсказания поведения системы в будущем в силу сверхчувствительной зависимости режима к сколь угодно малым отклонениям начальных условий. Именно это ведет к потере предсказуемости. Поэтому динамическая система, будучи полностью предопределенной, ведет себя непредсказуемо.

Согласно принятым сегодня представлениям такой режим регулярного хаоса наступает при выполнении трех условий:

1. Существует, по крайней мере, одна плотная орбита. Плотная орбита — это такое скопление точек, в любой окрестности каждой из которых со временем появится точка той же орбиты.

2. Имеет место квазипериодическое возвращение траекторий, которому сопутствуют неустойчивость, нелинейность и перемешивание.

3. Наблюдается существенная зависимость поведения траекторий от начальных условий.

Поясним понятие плотной орбиты. Еще Лейбниц утверждал, что линией как паутиной можно покрыть плоскость. В этом случае для любой точки на плоскости найдется сколь угодно близкая точка такой линии. В 1891 году появилась статья немецкого математика-универсала Давида Гильберта, в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Для любой точки этой линии, в любой сколь угодно малой ее окрестности со временем появится точка, принадлежащая той же самой линии. Кривая Гильберта, таким образом, иллюстрирует плотную орбиту.

Построение кривой Гильберта. Шаги 1,2,3,5, 7

Что же такое «квазипериодическое возвращение траекторий»? Рассмотрим поведение нелинейной динамической системы с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения в силу неустойчивости режима. Будь система линейной, возмущение могло бы возрастать до бесконечности. В большинстве реальных диссипативных систем нарастание возмущений имеет предел. При больших отклонениях изменяется характер сил, определяющих поведение системы, и возмущение начинает затухать. Система начинает возвращаться в исходное состояние.

Однако возвращение точно в то же состояние маловероятно, так как система неустойчива. С большей вероятностью система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться.

Например, так. Пусть у нас есть пружина, для которой зависимость амплитуды отклонения φ (х) от исходного состояния х определяется соотношением

φ (х) = kх — bx3,

где k и b — положительные коэффициенты. Пусть х = 0 — точка неустойчивого равновесия. Если x<<1, то Ьх3<<kх и слагаемым Ьх3 можно пренебречь. Тогда

φ (х) = kх.

В этом случае φ (х) линейно возрастает с увеличением х. Если х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх3 пренебрегать уже нельзя. Здесь отклонение φ (х) начнет испытывать ограничение. При некоторых х значение φ (х) вновь будет близко к нулю, т. е. система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Это как изюминка в коме теста, которое перемешивает пекарь. В общем случае траектория, испытав действие механизма нелинейного ограничения, возвращается в окрестность исходного состояния. Этот процесс будет длиться и длиться без ограничений и без повторений.

В процессе перемешивания система «забывает» информацию о своем начальном состоянии. Грубо говоря, сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное ее местонахождение становится все более и более плотным множеством. Это означает, что потребуется более высокая точность в ее определении. Так, если мы поместим в стакан с водой капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой, то чернила практически равномерно окрасят воду. Частички, первоначально сосредоточенные в капельке чернил, после перемешивания можно обнаружить в любой части стакана. Если до перемешивания чернила можно было зафиксировать координатой капельки чернил, то после перемешивания мы вынуждены говорить о фиксации молекул чернил.