Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди

я рассказал ему, каким Рассел был более века назад. Моя книга описывала молодого Рассела 1900 года, а не престарелого активиста, которого мой отец любил в 1960-х. Рассел, которого знал он, был сторонником свободной любви и антивоенным деятелем – своего рода Пабло Пикассо современной философии. Рассел, которого знал я – двадцати с небольшим лет, – был совсем другой породы: аристократ до мозга костей, воспитанный на идеях ура-империализма. Он верил, что «каждым уголком мира должна управлять какая-нибудь европейская держава» и что «великие империи приносят больше блага, чем малые». Люди меняются, и нигде это не видно так ярко, как в политике.

Впрочем, это вряд ли что-то меняло, ведь мама была непреклонна. Бертран Рассел Барди. Берти Барди?! «Нет, нет и нет!» – заявила мама в 1970 году, когда я родился. Это никуда не годится. «Мы дадим ему обычное имя, – настаивала она, – нормальное имя».

Отец сделал несколько заходов с Берти, но в итоге капитулировал. И тут же выдвинул новый план: «Платон Аристотель Барди». «Нет, нет, нет», – снова твердила мама. В итоге они достигли компромисса. При рождении я получу второе имя Сократ – меня назовут именем отца философии, чтобы умилостивить отца, который был философом. («О, сколько нам открытий чудных!»)

* * *

Однажды меня спросили, о чем эта книга, и я ответил: об истории, математике, любви, войне и бесконечности. «Ого, – сказали мне. – Ну и смесь. Что же связывает все эти идеи?» И мой ответ был прост: Ложь. Это книга о лжи – не столько о той, что мы говорим другим, сколько о той, которую мы говорим сами себе. Моя тема – это фундамент вещей. У зданий и домов есть фундамент. По чистому совпадению, когда я писал эту книгу, соседний дом продали и снесли. Я наблюдал, как рабочие ставили опалубку, укладывали внутрь арматуру и заливали бетоном, закладывая новый фундамент.

Скорее всего, это был правильный способ закладки фундамента. Бывает и много неправильных – хотя в современных зданиях это редкость, ведь они должны соответствовать строгим нормам. Однако фундамент есть и у многих других вещей – у любви, войны, мира, дружбы, будущего человечества, безопасности демократии и новаторских идей. Все сложные отношения и концептуальные конструкции имеют свой фундамент, и ошибочно полагать, что он всегда прочен. Одни отношения выстроены на железобетоне, твердо и честно. Другие стоят на рыхлом песке. Одни идеи покоятся на скальной породе. Другие – на грязи.

Когда мы говорим о фундаменте чего-либо, мы говорим об опасности. О рыхлом песке. О лжи. О дефектах. Вы никогда не думаете о фундаменте, когда он кажется незыблемым. Вас не заботит основание здания, пока вы не увидите трещины. Не услышите скрип. Не почувствуете дрожь или вибрацию. Не испугаетесь, что земля ходит ходуном. И только тогда, боясь скорого обрушения, вы всерьез задумываетесь, как решить проблему. В сущности, именно это произошло в математике в начале XX века. В основаниях математики появились трещины, вся дисциплина содрогнулась, и всех охватила тревога.

* * *

Математика уникальна тем, что дает способность превращать зыбкие пески предположений в незыблемый монолит доказательств. Поэтому, когда в основаниях математики возникли трещины, это сочли фундаментальной угрозой ее положению «царицы наук». В начале XX века несколько математиков взялись исправить эти изъяны. Их усилия оформились в три лагеря: логицизм, формализм и интуиционизм. Как и следовало ожидать, что сосуществование этих враждующих мировоззрений привело к ожесточенному конфликту, который я называю Великой математической войной.

В чем состояли различия этих лагерей?

В годы перед Первой мировой войной Бертран Рассел и его соавтор Альфред Норт Уайтхед пытались закрыть брешь в основаниях математики с помощью логики, развивая подход, названный логицизмом. Они добились успеха и прославились своим невероятно богатым и сложным трехтомным трудом «Основания математики» (Principia Mathematica), который и сегодня считают триумфом математической философии. Но исправить дефекты в основаниях им не удалось, и это знали все. Их работа закончилась до войны, а в 1914–1918 годах научная деятельность в Европе почти замерла. А уже после войны на горизонте появились два других конкурирующих мировоззрения.

Пионером формализма стал немецкий математик Давид Гильберт. Он разработал грандиозную схему: представить математику как игру, где объекты – это игровые фигуры, а аксиомы – формальные правила, определяющие результат. Это был масштабный план: спасти основания математики через ее представление в виде своего рода формальной игры.

До Гильберта математика ассоциировалась с так называемыми привилегированными объектами – числами, линиями, геометрическими фигурами, – элементами внешней реальности. Они имели очевидный и объективный смысл. Гильберт стремился не столько отменить эту привилегию, сколько вынести ее за скобки. Его замысел состоял в том, чтобы отделить математику от реальности и трактовать математические объекты как «бессмысленные знаки на странице», по его собственным словам. Это позволило бы математикам сфокусироваться на правилах вывода и решать задачи абстрактно. Это был мощный, проницательный подход. Гильберт полагал, что с таким подходом нерешаемых задач не останется. Это назвали формализмом.

Интуиционизм как альтернативу предложил голландский математик Л.Э.Я. Брауэр. «Забудьте о бессмысленных знаках», – говорил он. Его идеей был «конструктивный» подход: математический объект – это не абстракция на бумаге, а нечто вроде пошаговой инструкции, созданной человеческим разумом. Выражаясь мистическим языком, он видел в математическом объекте становление, а не бытие. Это был новаторский подход к математике, который Брауэру и его сторонникам казался глубоким и единственно верным. Работу Гильберта он презрительно называл «пустым» формализмом и наотрез отказывался признавать существование в математике чего-либо, что нельзя было явно сконструировать в уме. Эти расхождения привели к конфликту Брауэра с Гильбертом. Когда-то они были друзьями, но со временем стали испытывать глубокую неприязнь к работе друг друга, а в итоге – и личную вражду.

Великая математическая война разворачивается до, во время и после Первой мировой, охватывая период в 55 лет: с 1883 по 1938 год. Существует поразительная параллель между битвой за основания математики и ужасами Первой мировой войны, превосходящими ее по масштабу на много порядков. И то и другое было продиктовано одними причинами: ощущаемыми фундаментальными изъянами, верой в трещины в фундаменте, мнимыми экзистенциальными угрозами, столкновением мировоззрений и всей той ложью, которую мы говорим сами себе. Борьба за превосходство в Первой мировой войне считалась необходимым злом для того, чтобы уладить дела геополитически, и те же самые мотивы стоят за Великой математической войной и ее попыткой математически разрешить фундаментальные изъяны.

Эта книга также об изъянах вообще. Обо всем том несовершенстве, бессилии, бесполезности, бездарности, нехватке, скудости, упущениях, слабостях и тщетности, что мы видим вокруг, – а также о тех попытках исправить эти изъяны, которые оборачиваются то добром, то разрушением. Это история о жестокой войне, яркой