Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

порядок единиц должен быть инобытийно-нулевым, т.е. он должен быть продиктован только самой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное расположение чисел должны тут вытекать из значения самих чисел, а не от того «фона», на котором они даются, не от тех различных «расстояний» и «направлений», которые могут быть продиктованы этим «фоном». Тут только одно и есть «расстояние» между единицами – это просто перечисление единиц по их количественному значению: 1, 2, 3, 4… и т.д.; и тут одно только и есть «направление» – это то, которое определено значением самих чисел (в данном случае возрастание). Лучше же сказать, арифметические числа никаких совершенно не имеют междуединичных расстояний и этим единицам ровно никакое направление не присуще. Это нулевые расстояния и нулевые направления. Это чисто смысловая, т.е. чисто количественная, взаимо-распределенность и чисто количественная направленность.

Отсюда и аксиома.

Аксиома подвижного покоя в арифметике: арифметическое число есть совокупность определенным образом взаимно расположенных элементов.

Так как эта аксиома не содержит никакого указания моментов числового инобытия, то, следовательно, понимать такую формулировку можно только неинобытийно, т.е. только в смысле чисто количественной значимости. Можно, конечно, и отметить эту нулевую инобытийность.

Тогда пришлось бы добавить несколько слов вроде

· «при их чисто смысловом расположении», или

· «при их чисто смысловой значимости», или

· «когда это расположение определено только смыслом самих элементов» и т.п.

3.

Из распространенных аксиом арифметики сюда подойдут, очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо брать не все ввиду их неравномерной значимости, а только некоторые. Очевидно, сюда целиком подойдет аксиома:

«Если a и b суть какие-либо два различных числа, то всегда одно из них больше другого, т.е. всегда a > b и b < a».

Отсюда вытекают (но отнюдь не равносильны первой аксиоме) и другие:

«Если a > b и b > c, то a > с»;

«Если a > b, то всегда также a + c > b + c»;

и наконец:

«Если a > b и c > 0, то всегда также ac > bc».

Преследуя аксиоматическую общность изложения, можно и не касаться трех последних положений и ограничиться только первым – об a > b и b < a.

§ 51.

Аксиома подвижного покоя в геометрии

1.

Без труда формулируется та же аксиома для геометрии, поскольку здесь мы находимся в области инобытия числа, и категория подвижного покоя будет дана в своем инобытии. Это значит, что движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из которых состоит чистое число, но между моментами инобытийными, т.е. пространственными, и покой будет мыслиться не в недрах самого числа, а среди инобытийно-числовых, пространственных моментов. Как в предыдущей категории различие дало различие не просто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось не тождеством вообще, но пространственным тождеством точек, т.е. линией, плоскостью и телом, так и здесь мы должны оперировать с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от одной точки переходить к другой, наблюдая, что получается в результате этого движения и этого покоя.

Пусть мы двигаемся по линии от точки A к точке B. Чтобы показать, что мы именно движемся от A к B и что, придя в B, мы именно остановились, для этого, очевидно, нужно, чтобы мы имели не просто голые и изолированные точки A и B, взятые сами по себе, но в каком-то их специфическом взаимоотношении. Нужно, чтобы A уже сама по себе указывала бы на B, а B сама по себе указывала бы на A. Другими словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна идея порядка, чтобы от A мы шли бы действительно к B и чтобы в таком случае и от B шли бы к A. Легче, однако, это демонстрировать на трех точках, потому что при существовании только двух точек еще есть возможность двигаться в обратную сторону. Когда же мы имеем на одной прямой три точки A, B, C и движемся от A в направлении к C, то тут уже во всяком случае нам придется пройти через точку B. Почему? Потому что точки A, B, C расположены в определенном порядке, связаны определенной последовательностью; и если вообще двигаться в этом направлении, то нельзя не пройти точки B. Таков порядок этой системы. В момент прохождения через B мы как бы на мгновение останавливаемся, а это и значит, что тут действует категория подвижного покоя и что она определяет собою единство направления и порядка.

Можно поэтому в следующем виде выставить нашу аксиому.

Аксиома подвижного покоя в геометрии: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов в их инобытии.

Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, находящихся в состоянии движения по актам своего внешнего полагания и в состоянии покоя, достигаемого этим внешним движением.

2.

Из обычных формулировок аксиом сюда относятся т.н. аксиомы порядка. Их я взял бы почти в том виде, как они даны у Гильберта, хотя и в ином порядке – ради большей стройности и последовательности мысли. Именно, на первом месте я бы поставил то, что у Гильберта занимает третье место (II 3):

1. «Из трех точек прямой всегда одна, и только одна, лежит между двумя другими».

За этой аксиомой логически следует та, которая у Гильберта на первом месте (II 1), потому что сначала надо поместить одну точку между двумя другими, а потом уже говорить об отношении ее к этим другим, равно как только после этого следует говорить о продолжении движения за пределы этих двух точек (II 2). Таковы эти аксиомы:

2. «Если A, B и C – точки одной прямой и B лежит между A и C, то B лежит также между C и A».

3. «Если A и C – точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка B, лежащая между A и C, и по меньшей мере одна точка D такая, что C лежит между A и D».

Это – аксиомы линейные. Необходимо также применение нашей категории и к плоскости. Здесь существует аксиома Паша[15], дающая представление о продолжении и порядке плоскости. Ее можно формулировать так:

4. «Если в плоскости даны три отрезка AB, BC и CA, то прямая на этой плоскости, имеющая общую точку с одним каким-нибудь из них, имеет также общую точку с одним из