Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

в математической литературе на темы этой аксиомы, это знаменитая теорема Цермело о том, что всякое множество может быть сделано вполне упорядоченным множеством[17], вернее, всякое множество может быть мыслимо как вполне упорядоченное множество. Об этом стоит сказать несколько слов.

Прежде всего эта теорема Цермело с философской точки зрения может считаться вполне излишней. С философской точки зрения вообще множества не существует без идеи упорядоченности. Только философская нечеткость мысли в соединении с разного рода математическими вкусами и предрассудками может требовать какого-то множества вне идеи упорядочения. В § 47. 1 – 2 мы уже указали на невозможность даже простого отличения множества от обычного конечного арифметического числа, если не будет принята во внимание идея порядка. Последняя, таким образом, входит в самое определение множества. Поэтому и у нас она формулируется уже в числе аксиом идеальной (т.е. самой первой и существенной) структуры числа. Можно и не доказывать теорему Цермело, и все-таки она должна содержаться решительно во всяких теоретико-множественных построениях. Ей поэтому лучше и называться не теоремой, но именно аксиомой.

Далее, входя в существо доказательства этой аксиомы у Цермело, мы убеждаемся, что основная идея этого доказательства вполне интуитивна и непосредственна и что, собственно говоря, можно было бы и не давать его в этом развитом виде и ограничиться указанием на основную совершенно непосредственную очевидность самой структуры всякого множества.

Именно, центральная идея доказательства сводится вот к чему. Предполагая вначале, что данное множество неупорядоченно, мы берем его в виде всех его частей (уже тут, конечно, содержится реtitio principii[18], потому что раз множество расчленимо на несколько различных частей, то это значит, что оно вполне упорядочено, но – не будем настаивать на этом). В каждой такой части выбираем произвольно какой-нибудь элемент, который мы называем «отмеченным» элементом этой части (опять операция, возможная только при условии, что множество уже мыслится вполне упорядоченным, но – не будем настаивать и на этом). Далее следует самое интересное. Цермело называет «γ-частью» всякую часть рассматриваемого общего множества, такую, которая вполне упорядочена при помощи этого отмеченного элемента (тут опять указанное выше petitio principii, но – простим и это прегрешение), а именно: если a есть любой элемент этой γ-части, A – определенный им отрезок, M – A – дополнительная часть к A до данного общего множества, то для этой M – A отмеченным элементом оказывается как раз a. Вот это и есть основание всего доказательства. Грубо говоря, мы берем произвольно любой элемент из данного множества и на нем строим ориентацию в отношении всего множества. Ведь как можно вообще ориентироваться в том, что неразличимо? Нужно схватиться за какую-нибудь любую точку в этой неразличимости и в отношении этой точки ориентировать все прочие. Мы как бы чиркаем спичку в темной комнате и этим освещаем все, что в ней находится. Платон бы сказал: если есть что-нибудь одно, то это значит, что есть все. Ничего другого Цермело не высказывает в употреблении и в самом понятии своей «γ-части». Уже только одного «отмеченного» элемента достаточно, чтобы мы знали и весь отрезок (отрезком, который определен через элемент a, в теории множеств называется множество всех элементов, порядки которых ниже порядка a), и все, чего не хватает в данном отрезке по сравнению со всем первоначальным множеством, т.е. чтобы «γ-часть» была вполне упорядочена. Мы берем, следовательно, любой элемент из данного множества, становимся на нем как на некоей твердой точке и с него смотрим вперед и назад и во все стороны, озирая и сравнивая все, что во множестве вообще находится. Это и есть – и у Цермело, и по существу – единственный принцип упорядочения вообще; и конечно, во всяком множестве с необходимостью мыслится такая ориентация.

В дальнейшем Цермело берет две или несколько таких «γ-частей» (в этом случае одна из них, конечно, будет отрезком другой) и берет любые вообще элементы данного множества, входящие в «γ-части» (их порядок, очевидно, будет тот же, что и порядок соответствующих «γ-частей», а множество, обнимающее все «γ-части» и все входящие в них элементы, будет, конечно, вполне упорядоченным множеством). Остается только приравнять данное множество этому множеству всех «γ-частей», и – теорема доказана. Приравнивается же оно опять по тому же принципу. Пусть в M входят какие-нибудь части, которые не суть «γ-части». Тогда остается дополнительное множество до M, в котором также будет найден «отмеченный» элемент, т.е. получится новая «γ-часть», которая охватит и полученное множество «γ-частей» с этим «отмеченным» элементом, и таким образом все данное множество окажется состоящим из «γ-частей», т.е. вполне упорядоченным множеством.

Всего этого можно бы и не упоминать. Тут важно то, что мы уже сказали: в неразличимом берется одна точка, с которой сравнивается вся остальная неразличимость и, следовательно, всякая другая точка этой неразличимости. Больше ничего и нет в доказательстве Цермело. Такой характер доказательства с полной очевидностью удостоверяет, что множество, если его мыслить как твердое и законченное понятие, вообще не может обойтись без идеи порядка и что это является одной из самых основных аксиом теории множеств.

Можно сказать еще и так. Множество немыслимо без своих элементов (нуль-множество не есть исключение, так как нуль-множество и нуль просто – это совершенно разные вещи); множество и есть не что иное, как множество именно элементов. Но если это так, то элементы должны находиться между собой в каком-нибудь отношении. Ведь «множество» – это только неудачный термин; тут надо было бы говорить именно о единстве, а не о множестве. Единство же есть единство чего-нибудь. В том, что математики называют множеством, с философской точки зрения содержится именно единство взаимоотношений элементов. Раз есть элементы, то в силу самого своего понятия они находятся в некоем определенном взаимоотношении, а это и значит, что они вполне упорядочены. Понятие полной упорядоченности уже содержится в понятии элемента (т.е., другими словами, в самом понятии множества), так же как понятие протяженности содержится в понятии пространства.

3.

Хотя подробная диалектика упорядоченного множества будет нами изложена в специальном отделе о множествах, необходимо и сейчас ради уяснения уже занятых позиций наметить перспективу по вопросу об упорядоченности и показать, какие вообще возможны виды упорядочения с диалектической точки зрения.

Итак, мы различаем чистое арифметическое число (в котором инобытийно-нулевая упорядоченность) и голую идею порядка – категорию подвижного покоя, – которая, конечно, может рассматриваться и сама по себе, без всякого применения к числу или к чему бы то ни было. Разные виды (или, если угодно, ступени) упорядочения возникнут в зависимости от