Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

то можно, очевидно, так понимать это определение. В § 48.3 мы уже столкнулись с понятием т.н. Potenzmenge, т.е. множества всех подмножеств данного множества, причем его мы понимали как объединение всех частей (а не элементов) данного множества. Употребляя философскую терминологию, мы говорили, что Potenzmenge в отношении самого множества есть «все» в отношении «целого», причем это такое все, которое дано всевозможными способами комбинирования своих моментов, поскольку множество всех частей множества предполагает и взаимное перекрытие элементов последнего. Множество R, которое служит для упорядочения множества M, есть, очевидно, не что иное, как именно это Potenzmenge. И тут заложена весьма важная идея. В самом деле, что такое целое, из которого исключена идея порядка? Что такое целое, в котором нет никакой конфигурации отдельных моментов? Очевидно, что только очень отвлеченно понимаемое целое – скорее принцип целого, чем само целое. Но что же тогда будет порядком этого целого, что внесет в него определенную последовательность моментов и создаст в нем четкую конфигурацию? Тут требуется, очевидно, внесение в это целое каких-то внутренних различий. Чтобы нечто получило структуру, необходимо внутри него отличить одно от другого. Но это значит внести в него некое инобытие. Чтобы была структура бытия, необходимо внести в него инобытие, так что оно уже само для себя оказывается своим инобытием. Оно заново осуществляется на этом инобытии, но осуществляется целиком, так что инобытие перестает быть чем-то внешним для него, а становится им же самим, т.е. его структурой, его упорядоченностью. Это инобытие, однако, может быть рассматриваемо и само по себе – стоит только отвлечься от того целого, которое мы воплощали. Ведь можно же, например, иметь идею карандаша и на ее основе изготовить самый карандаш, а потом забыть о существовании самой идеи карандаша (т.е. о том, что изготовленная вещь есть именно карандаш) и рассматривать карандаш просто как некое физическое тело, указывая, что вот это – дерево, вот это – графит, вот это – краска, вот это – цилиндрическая форма и т.д. Что это будет такое? Оно будет, конечно, тоже некоей цельностью и, следовательно, множеством, но, раз мы забыли об идее карандаша, оно уже не будет для нас самим карандашом, не будет целым карандаша, но зато будет всеми частями, всем, из чего состоит карандаш. Это есть Potenzmenge карандаша; и это-то, как ясно, и есть то, что вносит в отвлеченную идею карандаша определенную последовательность ее элементов. Это наше множество R с указанными тремя свойствами.

e) Таким образом, математическая мысль, установившая в этом виде самую идею порядка (или упорядоченного множества), действовала здесь хотя философски и слепо, но на ощупь шла правильно. Наша задача – внести в эту математическую мысль философско-логическую ясность, которая и будет достигнута, как это ясно из предыдущего, следующим образом.

1) Идея порядка как таковая не может быть «определена», поскольку она является исходной; и мы видели, что Френкель ее вовсе даже не определяет, а предполагает готовой и только рассуждает о сфере ее применения. Но можно часто увидеть в ней то последнее зерно, которое остается неизменным при всех возможных ее функционированиях.

2) Это зерно заключается (и это особенно видно на втором свойстве множества R) не в чем ином, как в категории подвижного покоя. Второе свойство только ведь о том и говорит, что от одного момента можно перейти к другому.

3) Эта категория подвижного покоя может, однако, по-разному применяться в зависимости от сферы своего функционирования. Мы можем ее понимать a) отвлеченно-арифметически. По-видимому, это именно понимание Френкель имеет в виду, когда он говорит о том, что m1 раньше m2 (или наоборот). В таком виде идея порядка в собственном смысле еще не нарушается. Это скорее принцип порядка, чем самый порядок («инобытийно-нулевая упорядоченность»). Совсем другое получится, если категория подвижного покоя b) перейдет в свое инобытие и начнет в нем воплощаться. Это создаст тот материал, без которого не может быть и самого порядка (поскольку порядок есть всегда порядок чего-нибудь). Однако в чисто инобытийном смысле категория подвижного покоя дала бы геометрическую, а не теоретико-множественную упорядоченность. Необходимо ей из инобытия вернуться к себе, т.е. все эти инобытийные, геометрические «части» положить в себе, в сфере чисто числовой, отождествить с чистым смыслом, поднять в свою сферу. Тогда эти «части» получают опять чисто числовой характер, но уже с той идеей расставленности и распределенности, которая была характерна для чистого инобытия. Это и есть теоретико-множественная упорядоченность.

4) Следовательно, в упомянутом математическом определении упорядочивающего множества мы имеем не определение порядка, но – на основе уже имеющейся определенной идеи порядка – конструирование именно теоретико-множественной упорядоченности, возникающей в отличие от абстрактной идеи порядка на основе инобытийно-алогических модификаций. Все это, с одной стороны, подтверждает правильность защищаемого в нашем исследовании места как самой идеи порядка, так и всей теории множеств, с другой же – показывает слепую и бессознательную целесообразность математической мысли, идущей своими путями без философских методов и логической выучки.

f) Существует еще иное определение порядка – при помощи понятия упорядоченной пары и однозначной функции[21]. Но чтобы не затягивать изложения, мы не станем его анализировать.

§ 53.

Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей

1.

Согласно аксиоме подвижного покоя, математическая вероятность должна быть такова, чтобы было видно, как она переходит в другую вероятность и как ее движение на этом останавливается. Чтобы выявить свое движение, вероятность, очевидно, должна в самой себе таить свое изменение. Как это возможно? Пусть мы имеем некое событие A, и пусть его вероятность равняется a. Чтобы вероятность оказалась в движении, надо событию A некоторым образом меняться. Если событие A мыслится некоторым образом в процессе изменения, то и вероятность его a, очевидно, тоже окажется изменяющейся. Но поскольку никаких иных причин и событий, кроме A, мы не знаем, остается, чтобы самое осуществление этого A повлекло за собою появление новых факторов и новых событий, способных изменить содержание нашего A. Другими словами, если вероятность приходит в движение, то это значит, что она относится к событиям взаимно зависимым, т.е. к совмещению событий. Действительно, та вероятность, с которой мы имели дело при изучении аксиомы самотождественного различия (§ 49.8), касалась событий, независимых одно от другого, и это мы там подчеркивали. Поэтому одна вероятность там только отличалась от другой и отождествлялась с ней, но не было видно, как она переходит в другую. Теперь же по факту самой вероятности, по ее осуществлению мы начинаем видеть, как она становится другой вероятностью, подобно тому как в арифметике