Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

2. если m1 и m2, – два различных элемента M, то в R входит по крайней мере один остаток R0, содержащий один из обоих элементов m1 и m2 (а именно элемент, появляющийся в M на более позднем месте; если m1 стоит раньше m2, то, например, соответствующий m1 остаток R0 хотя и содержит m2 но он не содержит m1);

3. объединенное множество каждого множества остатков от M (т.е. каждого подмножества для R) есть в свою очередь остаток от M – следовательно, элемент от R».

Множество R с такими тремя свойствами и есть то множество, при наличии которого упорядочивается множеством M.

Это определение упорядочивающего множества способно сначала поставить философствующего только в тупик. Однако тщательное расследование этого определения вскрывает как всю беспомощность математической мысли поставить философскую проблему, так и ее весьма поучительную слепоту, но все же в своей слепоте бессознательно правильно нащупывающей логический аппарат, который тут пускается в ход человеческим сознанием.

b) Возьмем первое свойство множества R. Здесь указывается, что каждому элементу из M соответствует некий определенный остаток до всего M, который пока мыслится как неупорядоченный. Выставляется требование, чтобы эти неупорядоченные куски множества M тоже находились между собою в отношениях целого и части. Что такое требование вполне естественно, в этом сомневаться не приходится. Но тут с первого же шага совершается обычная в математических рассуждениях petitio principii; а именно, требуется определить, что такое порядок множества или что такое упорядочивающее множество. Но при этом уже предполагается, что M упорядочено (так как имеется в виду, что m1 раньше m2 или наоборот). Ведь только зная порядок элементов в M, и можно будет сказать, какой остаток и для какого [элемента] окажется частью или подмножеством. Что m1 раньше m2, это Френкель знает; и что значит этот порядок, его нисколько не смущает. Но для R он почему-то не знает, как понимать порядок, и вдается тут в сложное рассуждение.

Однако не будем на этом настаивать. Закроем глаза на то, что в определении порядка здесь уже фигурирует категория порядка и неизвестное определяется здесь через другое неизвестное. Что же дальше? Зачем понадобился этот переход к «остаткам» и какое это имеет отношение к идее порядка? Тут, однако, необходимо указать, что математик пошел на ощупь вполне правильно. Хотя в смысле принципиальной мыслимости и не существует никакого неупорядоченного множества, но мы можем условно занять такую позицию, что есть некое множество, но что в нем все спутано и неразличимо и является как бы бесформенной глиной или песком. Как при такой позиции прийти к идее упорядоченности? Очевидно, необходимо прежде всего отбирать из этой глины те или другие порции, для того чтобы потом их как-нибудь обделать, объединить и придать им ту или иную форму. Первое свойство множества R1, о котором говорилось выше, и есть, очевидно, не что иное, как распределение алогической массы множества M на отдельные взаиморазличимые куски, о величине которых можно судить и которые являются один в отношении другого целым или частью. Но если это так, то философский смысл первого свойства заключается в том, что тут элементы множества M перестают мыслиться в своей отвлеченности, но что они переходят в свое инобытие и в нем воплощаются. Когда мы берем элемент m1 и смотрим на то, что еще остается в M, то хотя этот остаток по условию еще и мыслится неупорядоченным, но уже гораздо в меньшей степени, мы как бы уже видим здесь, где он начинается и где кончается. Изрезавши все множество R на такие куски (путем противопоставления данного куска соответствующему элементу из M), мы, очевидно, получаем не что иное, как то же самое множество M, но уже как отраженное на R, и само-то R оказывается не чем иным, как множеством всевозможными способами полученных следов всех элементов M, множеством всевозможного воплощения всех отвлеченных элементов этого последнего на его алогическом материале. Действительно, так оно и должно быть: порядок предполагает, что есть отвлеченная идея и есть реальный, но алогический материал, который этой идее подчиняется. Так вот, кромсание этого материала на куски, которые потом превратятся в упорядоченные элементы, есть первый необходимый этап упорядочивания, и смысл этого первого свойства множества R, очевидно, сводится к переходу отвлеченного элемента в свое инобытие, причем переход тут совершается пока не целиком, а только по факту элемента: элемент получил для себя инобытийную субстанцию, но она еще остается без воплощения подлинного смысла элемента, остаётся грубым и необработанным куском.

c) Перейдем ко второму свойству множества R. Здесь утверждается, что если имеется в M два каких-нибудь элемента, из которых один позже другого (опять предполагается идея порядка!), то в R должен быть хотя бы один остаток, содержащий в себе один из этих элементов. При этом если идея порядка здесь подлинно функционирует, то этот остаток должен содержать в себе именно позднейший элемент из этих двух, так как остаток, соответствующий элементу m1 может содержать в себе элементы только высшие, чем m1, а таковым является только m2 (раз соблюдается последовательность перехода от m1 к m2). Другими словами, это второе свойство множества R связывает его с множеством M в том смысле, что до сих пор отдельные «части» R мыслились только в своем взаимном различии, но не мыслились ни в каком взаимном порядке, теперь же они мыслятся как продолжение тех или иных элементов из M. Второе свойство множества R предполагает, что порядок в R может быть только в том случае, если, взявши что-нибудь из M, мы этого уже не встретим в R, а встретим только то, что выходит за его пределы. Здесь, очевидно, устанавливается ориентация отдельных моментов R в отношении элементов M. Каждый момент R отныне, оказывается, начинает нести на себе энергию целого M, т.е. отвлеченно взятый элемент M не только перешел в свое инобытие, в R, субстанциально, но он перешел по смыслу. Остается, стало быть, только подтвердить, что все эти «части» R, отныне получившие смысл элементов, сами суть нечто целое, т.е. образуют некое самостоятельное множество. Тогда и окажется, что упорядоченное множество действительно конструировано из вполне алогического материала.

Это фиксируется в третьем свойстве множества R.

d) Если теперь оглянуться на весь пройденный путь в определении множества R,