Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

Упражнение. Докажите, что это оптимальный вариант. Иными словами, любая стратегия Алисы и Боба будет выигрывать не более чем в 75 % случаев.

Теперь главное: предположим, что Алиса и Боб имеют общее запутанное состояние

причем одну половину его держит Алиса, а другую — Боб. В этом случае существует стратегия[95], при помощи которой они могут выигрывать с вероятностью

Для ясности уточним: обладание состоянием |Φ〉 не позволяет Алисе и Бобу обмениваться сообщениями быстрее чем со скоростью света; способа делать это вообще не существует! Однако это состояние позволяет им выигрывать в данной конкретной игре более чем в 75 % случаев. Мы могли бы наивно предположить, что для этого Алиса и Боб должны «жульничать», обмениваясь сообщениями, но это вовсе не так — они могут жульничать и при помощи запутанного состояния!

Итак, это было неравенство Белла.

Но какое отношение эта глупая примитивная игра имеет к скрытым параметрам? Предположим, мы попытались смоделировать измерения Алисой и Бобом состояния |Φ〉 с использованием двух скрытых параметров: одного на стороне Алисы и одного на стороне Боба. Предположим также, что в соответствии с релятивистской причинностью мы потребуем, чтобы ничто происходящее со скрытым параметром Алисы не могло повлиять на скрытый параметр Боба или наоборот. В таком случае мы должны предсказать, что Алиса и Боб могут выиграть не боле чем в 75 % случаев. Но это предсказание будет ошибочным!

Из этого следует, что если мы хотим согласовать любую теорию скрытых параметров с квантовой механикой, то она должна допускать «мгновенную связь» между любыми двумя точками во Вселенной. Опять же это не означает, что сама квантовая механика допускает мгновенную связь (это не так) или что мы можем использовать скрытые параметры для отправки сообщений быстрее скорости света (этого мы не можем). Это означает лишь, что если мы считаем нужным описывать квантовую механику с использованием скрытых параметров, то наше описание непременно должно включать мгновенную связь.

Упражнение. Обобщите аргумент Белла, чтобы показать, что не существует теории скрытых параметров, которая удовлетворяла бы приведенным выше аксиомам локальности и коммуникативности.

Итак, из игры Алисы и Боба с бросанием монетки мы узнали, что любая попытка описать квантовую механику посредством скрытых параметров обязательно приведет к трениям с теорией относительности. Опять же все это не имеет никаких экспериментальных последствий, поскольку теория скрытых параметров вполне может нарушать «дух» теории относительности, подчиняясь в то же время ее «букве». И правда, поклонники скрытых параметров любят заявлять, что мы занимаемся только тем, что раскапываем подавленные семейные противоречия между теорией относительности и квантовой механики!

Примеры теорий со скрытыми параметрами

Я знаю, что вы думаете: после разгрома этих теорий, учиненного нами только что, их перспективы выглядят довольно бледно. Но вот поразительная вещь: даже в зубах четырех различных запрещающих теорем можно все же построить интересные и математически нетривиальные теории скрытых параметров. Я бы хотел закончить эту главу тремя примерами.

Теория потока

Вспомните цель теории скрытых параметров: мы начинаем с унитарной матрицы U и состояния |ψ〉; из них мы хотим получить стохастическую матрицу S, отображающую первоначальное распределение на конечное. В идеале S должна выводиться из U «естественным», «органичным» способом. Так, к примеру, если элемент U с номером (i, j) равен нулю, то (i, j) — й элемент S тоже должен быть равен нулю. Аналогично небольшое изменение U или |ψ〉 должно производить в S тоже лишь небольшое изменение.

Заранее неясно, существует ли хотя бы теория скрытых параметров, удовлетворяющая двум приведенным выше требованиям. Так что первым делом я хочу дать вам простую и элегантную теорию, удовлетворяющую этим требованиям.

Основная идея в том, чтобы рассматривать массу вероятности, протекающую через мультивселенную, в точности как нефть, текущую по трубам! Мы представим, что первоначально у нас есть |αi|² единиц «нефти» в каждом базисном состоянии |i〉, тогда как к концу мы хотим иметь |βi|² единиц нефти в каждом базисном состоянии |i〉. Здесь αi и βi — начальная и конечная амплитуды |i〉 соответственно. Кроме того, мы будем считать |uij| — абсолютную величину (i, j) — го элемента унитарной матрицы — пропускной способностью «нефтяной трубы», ведущей из |i〉 в |j〉.

Первый вопрос таков: для любых U и |ψ〉 можно ли направить 1 единицу нефти целиком из s в t по приведенной сети G (U, |ψ〉), не превысив при этом пропускной способности труб?

Я доказал[96], что ответ: да. В моем доказательстве используется фундаментальный результат из 1960-х гг., известный как теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе. Те из вас, кто завершает обучение по специальности теоретическая информатика, может быть, припомнят что-то такое из материала первых курсов. Остальным, пожалуй, стоит увидеть это хотя бы раз в жизни. (Это полезно не только для интерпретации квантовой механики, но также для таких вещей, как интернет-маршрутизация!)

Итак, что же говорит нам теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе? Предположим, у нас есть сеть нефтяных труб, такая, как показано на рисунке, с «источником», обозначенным s, и «стоком», обозначенным t. Каждая труба имеет известную пропускную способность, которая характеризуется неотрицательным действительным числом, обозначающим, сколько нефти можно прокачать по этой трубе за секунду. Тогда максимальный поток — это всего лишь количество нефти, которую можно прокачать от s к t за одну секунду, если направить потоки по трубам наилучшим способом. А минимальный разрез — это наименьшее действительное число C, такое, что какой-нибудь террорист, взорвав трубы с суммарной пропускной способностью C, может прервать всякую перекачку нефти от s к t.

Для примера вопрос: чему равны максимальный поток и минимальный разрез для приведенной схемы?

Верно: то и другое равно 3.

В качестве тривиального наблюдения я утверждаю, что для любой схемы максимальный поток не может быть больше минимального разреза. Почему?

Верно: потому что минимальный разрез, по определению, равен полной пропускной способности некоторого «критического участка», через который в какой-то момент должна пройти вся нефть! Иными словами, если взрыва труб с суммарной пропускной способностью C достаточно, чтобы снизить поток от s к t до нуля, то возвращение этих труб в строй не может увеличить поток больше