(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

вы ни находились на пути к принятию себя и своих ошибок, я надеюсь, что эта глава вдохновила вас создать дружелюбную среду для ваших учеников и помогла вам самим сформировать положительное отношение к трудностям и ошибкам. Обучение – это процесс, а не результат, и именно во время борьбы открываются самые динамичные возможности.

Настало время для новых идей по изучению математики, которые, я надеюсь, вы примете с той открытостью и позитивным настроем, которые заложили первые главы книги.

4. Математика в современном мире

Моя цель при написании этой книги – изложить идею ish-математики и показать математическое разнообразие. Ish-математика и понятие ish, как вы узнаете из этой главы, – это разнообразный подход к пониманию математики в том виде, в каком она существует в повседневной жизни самых разных людей. Концепция математического разнообразия включает в себя ценность культурного разнообразия и различий между людьми, а также многообразие в подходе к математике, признание различных способов видения и мышления. В главе 1 говорилось, что обе эти формы разнообразия (особенно совместно) способствуют эффективному сотрудничеству, решению задач и высоким результатам130. В летних лагерях центра Youcubed мы с командой преподавали школьникам из разных стран, и учеба шла успешно, потому что наш математический подход ценил и учитывал различия между учащимися, уважая их разные способы видения, мышления и решения задач131. Разнообразие школьников обогатило математическое разнообразие, а математическое разнообразие расширило их опыт.

Наиболее убедительное и масштабное исследование влияния расового разнообразия принадлежит одному из моих коллег по Стэнфорду Шону Рирдону, который занимается изучением неравенства в сфере образования. Шон и его коллеги исследуют образовательные возможности, опираясь на колоссальный набор данных: сведения об успеваемости за 11 лет для более 50 миллионов учеников в более чем в 10 тысячах округов. Эти сведения позволяют сделать важнейший вывод: расовая сегрегация учащихся связана с разрывом в успеваемости, который начинается в третьем классе и продолжается до восьмого класса132. Сегодня школы не разделены по расовому признаку, как это было шестьдесят лет назад, однако за последние тридцать лет расовая и экономическая сегрегации увеличились. В 2022 году в той школе, где учился средний чернокожий ученик, было на 32 % больше чернокожих школьников и школьников латиноамериканского происхождения по сравнению со школой среднего белого ученика133. Когда школы и сообщества не отличаются разнообразием, проигрывают все, особенно если учесть недостаточное финансирование многих школ и сообществ, и это приводит к существенным непростительным разрывам в возможностях, которые сильнее затрагивают цветных детей и детей из малообеспеченных слоев.

Исследование Рирдона демонстрирует, что равенство является важной целью для нас как общества, из чего следует, что нам необходимо пересмотреть организацию наших школ. За годы сотрудничества со школами Великобритании и США я убедилась, что наиболее эффективными являются те из них, где присутствует существенное разнообразие всех видов – расовое, культурное, социальное и так далее. Люди получают пользу, если открыты для нового и ценят разнообразный вклад различных культур и людей134. При бережном преподавании у молодежи развивается уважение друг к другу, преодолевающее расовые, социальные и культурные различия, – одна из важнейших целей образования135.

Разнообразие улучшает жизнь, а это улучшает математику.

Несколько лет назад мне позвонили с предложением помочь в создании благоприятной среды для более разнообразной математики в школьной системе двенадцатилетнего образования (K–12). Звонивший не принадлежал к моему профессиональному кругу общения и не был связан ни с образованием, ни с математикой. Это был Стив Левитт, экономист из Чикагского университета, прославившийся благодаря своей книге «Фрикономика»136[28]. Он пригласил меня на подкаст, который обычно ведет его соавтор Стивен Дабнер. К этому разговору Левитта подтолкнуло недовольство домашними заданиями по математике, которые давали его детям в старшей школе, и в целом тем математическим материалом, который им преподавали. Он осознавал, что это та же самая математика, которую он изучал в школе, однако его собственная работа, связанная с экономическими исследованиями, использовала математику и математические инструменты, которые, по его словам, не имеют ничего общего с тем, что изучают его дети.

Такое несоответствие сподвигло Левитта провести специальный выпуск передачи под названием «Программа математики в Америке не сходится»137. Выпуск начался с того, что его дочь-школьница прочитала в шутовской манере:

Приведите к рациональному виду знаменатель в формуле: 3, деленное на квадратный корень из x минус 7. Найдите мнимые нули функции: f от x равно 4 x в четвертой степени плюс 35 x в квадрате минус 9.

Затем состоялась оживленная дискуссия, в которой приняли участие я, экономист и бывший преподаватель Салли Садофф, аналитик-исследователь Дафна Ворченко и президент Совета колледжей[29] Дэвид Коулмен. Немало было сказано о несоответствии между математикой, которую следует преподавать, и математикой, которую преподают.

Коулмен сообщил, что Совет провел опрос преподавателей различных дисциплин в колледжах и средних школах на тему, какие разделы математики больше всего нужны для учебы. Он заявил, что разница в ответах этих двух групп «разбивает сердце»:

Преподаватели колледжей считают, что “очень немногие вещи важны и имеют большое значение”. Учителя средней школы говорят: “Важно всё”. Представьте себе это давление. Они должны делать абсолютно всё, иначе они подведут своих детей, и это вынуждает их гнаться за выполнением программы, в противном случае их дети окажутся не готовы к финальным экзаменам. Преподаватели колледжей хотят донести следующую мысль (хотя их не слышат): если ваши ученики умеют делать базовые вещи, мы сумеем сделать все остальное. Но если эти знания шаткие и ученики плавают в материале, пусть даже они знают много другого, мы в тупике138.

Это сильные и важные слова. Для преподавателей колледжа немногие вещи важны и имеют большое значение. Однако учителя средней школы считают, что охватить нужно всё. Это неудивительно, ведь штаты, округа, стандарты учебных программ, учебники и тесты внушили школьным учителям, что они должны обучать всему, что перечислено в стандартах. В главе 6 я попытаюсь помочь с проблемой, с которой сталкиваются все учителя программы K–12 и некоторые родители: как при таком изобилии материала учить со смыслом и обеспечить разнообразие, необходимое для школьников.

Возможно, вы сейчас задаетесь вопросом: какие именно немногие вещи имеют значение? Какие темы, по мнению профессоров колледжей, важны для различных курсов и математического будущего учащихся в целом?

Изучайте и преподавайте то, что важно

Первая базовая математическая область (которую Дэвид называет «скромной») – арифметика (четыре операции и дроби); это та часть математики, которую я называю чувством числа. Вторая область – анализ данных и решение задач, включая такие понятия, как отношения и пропорции, позволяющие людям видеть, как величины соотносятся друг с другом; я называю это грамотностью данных. Третья область – линейные уравнения, часть математики, которая описывает, как вещи в жизни соотносятся друг с другом; она используется во многих дисциплинах. Эти три области математического мышления не только необходимы для учебы в колледже, но и больше всего востребованы в жизни и работе. С каждой из них можно знакомиться узким способом – как с набором правил, методов и процедур, а можно разнообразными ish-путями, подчеркивающими их потенциал, красоту и применимость в нашей жизни. В этой главе мы начнем рассматривать эти три области. Что в них интересного? И как мы можем работать с ними разнообразными ish-способами?

Чувство числа

Числа очень важны, но в обществе в целом они имеют негативную репутацию. Многие даже не подозревают, что числа обладают врожденной красотой; и это неудивительно, ведь подавляющее большинство никогда не пытались увидеть эту красоту. Как правило, люди относятся к числам и арифметике как к холодным, отчужденным объектам, не имеющим отношения к их жизни. Такое представление формируют учебные программы, разработанные в большинстве стран и штатов. Профессор Королевского колледжа Лондона Стивен Болл называет «программой мертвых» те учебные стандарты, которые не признают роли людей в производстве знаний, транслируя вместо этого «неоспоримое суждение поколений», и не предусматривают место для собственных экспериментов или представлений учащихся139. Перечни математических