Занимательная логика. Задачи и решения - Яков Исидорович Перельман

несчастный Филет[54] сошел с ума. Египтянка к величайшему своему ужасу заметила однажды, что ребенок ее, еще только что беззаботно резвившийся на цветущем лугу нильского берега, барахтается в крокодиловой пасти. Мать стала умолять чудовище возвратить ей дитя. Крокодил отвечал, что он не тронет ребенка, если она угадает, что он с ним сделает. «Ты мне не возвратишь дитя!» — воскликнула мать в ответ на его предложение. За этим последовал такого рода диалог. Крокодил: «Сказала ли ты правду или нет — во всяком случае ты ребенка уже не получишь. Если ты права, то ребенок, конечно, будет съеден; если же ты неправа, то он мой по уговору». Мать: «А я полагаю как раз противное: если я права — то ребенок мой по уговору; если же я солгала, т.е. ты мне его возвратишь, то ясное дело, что он будет у меня».

По делу Протагора и его ученика суд вынес такой приговор: процесс решается в пользу Квантлуса, но за Протагором удерживается право опять начать процесс на новом основании именно потому, что Квантлус выиграл свой первый судебный процесс — и тогда ученик уже несомненно будет приговорен к уплате долга. Если же рассуждать логично, то следовало просто испытать, в какой мере учитель исполнил свое дело, и соответственно успехам ученика присудить его к уплате гонорара или освободить. Ведь вся путаница произошла только от того, что первый же процесс ученика имел своим предметом уплату гонорара за обучение; выходит, стало быть, следующее: Квантлус тогда только обязан будет уплатить долг, когда он докажет перед судом, что не обязан его платить. Приблизительно в таком же роде разрешается и парадокс с крокодилом. Крокодил соглашается возвратить ребенка, если мать угадает, что он с ним сделает; но угадать ведь можно только нечто установившееся, незыблемое; крокодил же ставит будущее событие (слова египтянки) в зависимость от другого будущего события (его поступка с ребенком), которое само определяется первым (так как крокодил принимает решение уже после того, как мать высказала свое предположение).

Одним из наиболее любопытных парадоксов является классический парадокс Зенона[55] о том, что Ахилл не в состоянии догнать черепаху. Над разрешением его немало трудились в течение тех двух тысяч лет, которые протекли со времени его появления. Для большей ясности мы несколько упростим данные задачи. Условия состязания следующие: Ахилл, передвигающийся, положим, вдвое скорее черепахи и проходящий один шаг в секунду, находится от нее на расстоянии всего одного шага. И вот Зенон утверждает, что даже при таких, по-видимому, выгодных условиях быстроногий Ахилл не догонит черепаху. Действительно: в то время как Ахилл сделает один шаг, черепаха передвинется на полшага вперед; Ахилл пройдет эти полшага — черепаха отодвинется еще на ​¼ шага; в то время как Ахилл успеет пройти и эту ​¼ шага, черепаха проползет еще ⅛ шага и т.д.; ясно, что черепаха всегда будет на некоторую, хотя бы и незначительную долю шага впереди Ахилла. На первый взгляд оно так и кажется, но стоит приступить к решению той же задачи иным путем — и сейчас же станет ясно, в чем тут дело. Определим, сколько времени нужно Ахиллу, чтобы нагнать черепаху. Расстояние между состязающимися — 1 шаг; с каждой секундой расстояние это уменьшается на 1–½ = ½ шага; следовательно, оно обратится в нуль, т.е. Ахилл догонит черепаху, только спустя 1: ½ = 2 секунды; итак, по крайней мере две секунды нужны Ахиллу, чтобы догнать черепаху.

А сколько дается ему времени в рассматриваемом случае? Нетрудно сосчитать.

Ахилл пройдет 1 шаг + ½ шага + ​¼ + ⅛ и т.д.; в алгебре доказывается, что этот ряд стремится к определенному пределу, равному 2, но никогда, однако, не достигает его; следовательно, мы отводим Ахиллу столько времени, в течение которого он едва успевает пройти два шага, т.е. менее двух секунд. Но, как мы уже знаем, ему необходимо по крайней мере две секунды, чтобы догнать черепаху, и теперь вполне понятно, почему он не может догнать черепаху: ему дано слишком мало времени. Таким образом, парадокс Зенона должен быть высказан в следующей форме: Ахилл не догонит черепаху, если мы не дадим ему достаточный для этого промежуток времени. А при таких условиях уже совершенно ясно, где скрывается неправильность в этом пресловутом парадоксе.

  100 000 за доказательство теоремы

Несколько недель тому назад[56] в г. Дармштадте скончался немецкий математик Пауль Вольфскель[57], оставивший Геттингенскому научному обществу довольно необычайное завещание. А именно, он завещал обществу капитал в 100 000 марок с тем, чтобы деньги эти были выданы в качестве премии за доказательство так называемого «великого предложения Ферма»[58]– теоремы, до сего времени остававшейся недоказанной.

Речь идет вот о какой теореме. Сумма квадратов двух чисел довольно часто также является точным квадратом: так, 62+ 82= 102

и т.п. Но сумма кубов двух чисел никогда не бывает кубом какого‐либо числа; точно так же сумма четвертых, пятых и т.д. степеней какого‐ либо числа. В этом и состоит теорема Ферма: сумма двух одинаковых степеней (за исключением вторых) не может быть тою же степенью. За строгое доказательство этой истины и предлагается теперь сто тысяч марок.

Немало математиков в свое время уже трудилось над доказательством этой неподатливой теоремы, высказанной более двух с половиной веков тому назад, и никому еще не удалось найти общее, строго математическое ее доказательство — для всех степеней выше второй. И если теперь искомое доказательство оценено такой огромной суммой, то оно вполне этого заслужило за свою упорную неуловимость для самых сильных математических умов.

Любопытнее всего, что названная теорема не требует для своего доказательства обширных математических знаний. Подобно многим положениям так называемой теории чисел, она, по всей вероятности, доказывается средствами элементарной алгебры, и вот почему многие ученые трудились над ней еще на школьной скамье. Стоя вполне особняком в системе математических теорем, она не имеет большого значения для науки, и если заставляет так много говорить о себе, то главным образом благодаря своей любопытной истории.

Она, можно сказать, просто заинтриговала математиков.

А история ее действительно интересна и способна заинтриговать самого бесстрастного математика. Ее автор, Пьер Ферма, юрист по профессии, советник Тулузского парламента по положению, занимался математикой лишь между прочим, для развлечения. Это не мешало, однако, ему сделать целый ряд огромной важности открытий, справедливо окруживших его славой гениального математика. Он почти не печатал своих трудов, а сообщал их в письмах к