Занимательная логика. Задачи и решения - Яков Исидорович Перельман

своим друзьям, среди которых были такие ученые, как оба Паскаля[59], Роберваль[60], Декарт, Гюйгенс и др. Целый ряд теорем из области теории чисел разбросан этим гениальным дилетантом… на полях одной греческой книги! Впрочем, автором сочинения, которому посчастливилось служить записной книжкой для Ферма, был не кто иной, как не менее знаменитый александрийский математик Диофант[61], также занимавшийся теорией чисел.

Все эти теоремы записаны без доказательства, просто в виде предложений, доказательства которых были найдены Ферма, но не были опубликованы и до нас не дошли. Впоследствии все они были строго доказаны позднейшими математиками, все, кроме одной, — той самой, о которой у нас сейчас идет речь.

Но может быть, эта единственная недоказанная еще теорема, найденная среди заметок на полях сочинения Диофанта, просто неверна? Нет, она совершенно верна, и вы можете испытать это на любом числе примером. Тогда, быть может, она совсем недоказуема, как недоказуем знаменитый постулат Евклида о параллельных линиях?[62] И этого нет! Она была несомненно доказана самим Ферма, о чем свидетельствует следующая приписка на полях книги: «Я нашел замечательно интересное доказательство этой теоремы, но оно, к сожалению, не поместится на этих узких полях». Такому добросовестному ученому, как Ферма, можно смело верить, и раз он утверждает, что нашел доказательство, значит, он его действительно нашел.

Как популярна эта любопытная теорема у представителей точного естествознания, видно из того, что она сделалась в их среде, что называется, «притчей во языцех».

Вот, например, в каких выражениях немецкий математик Кронекер[63] поздравлял знаменитого физика Гельмгольца с 67‐м днем его рождения:

«От души поздравляю вас с достижением 67‐летнего возраста. Число 67 — последнее из трех критических чисел первой сотни, для которых не удалось еще доказать теоремы Ферма. Вы пережили уже первые два из этих критических чисел; позвольте пожелать Вам благополучно отпраздновать и наступающую 67‐ю годовщину вашей плодотворной жизни».

Такова интересная история знаменитой теоремы, которая ныне снова привлекла к себе всеобщее внимание. Премия в 100 000 слишком достаточна, чтобы оживить энергию математиков, и кто знает, быть может, на ней пожелают попытать счастья и некоторые из наших многочисленных читателей…

От души желаем им большего успеха, чем тот, какого добились в свое время Гаусс и Эйлер[64].

Наши цифры

Дети, впервые обучаемые счету, часто задают своим учителям вопрос: «Почему три обозначается знаком 3, а пять — знаком 5?» Мы обыкновенно считаем подобные вопросы праздными, однако здесь есть над чем призадуматься и взрослому. В самом деле — откуда наши цифры получили свои современные начертания, почему они обозначаются именно такими, а не иными знаками? Должна же быть какая‐нибудь естественная причина, и отчего бы не попытаться отыскать ее?

Среди отрывков и мелких заметок А. С. Пушкина есть между прочим такое замечание, прямо отвечающее на наш вопрос:

«Форма цифр арабских составлена из следующей фигуры (см. рис.): AD (1), EABDC (2), ABECD (3), ABD + AE (4) и проч. Римские цифры составлены по тому же образцу».

Трудно сказать, собственная ли это догадка нашего поэта или заметка выписана им из какого‐нибудь источника, но несомненно, что догадка эта совсем неудачна.

Правда, получающиеся по предлагаемому способу фигуры действительно весьма сходны с начертаниями арабских и римских цифр. Но дело ведь не в том, чтобы найти узор, из которого можно было бы получить начертания цифр. Весь вопрос о происхождении цифр заключается в том, чтобы объяснить, почему они имеют именно то, а не иное начертание. И если принять «объяснение» Пушкина, то все же останется непонятным, почему же собственно все цифры — и римские, и арабские — заимствовали свои формы как раз из указанной им фигуры, а не из какой‐нибудь другой. Ведь основная фигура — круг со вписанным в него квадратом — не имеет никакого отношения к числу и счету.

Поэтому приходится оставить эту остроумную, но ничего не объясняющую догадку и искать объяснения совсем в другом направлении. В настоящее время существует довольно удовлетворительное объяснение странных форм наших цифр, и с этим объяснением мы и постараемся познакомить читателей. Начнем с римских цифр, которые, несмотря на всю свою громоздкость и неудобство, были во всеобщем употреблении в Европе вплоть до XIV–XV столетия, когда они были вытеснены арабскими. Но эти цифры все же, как увидим ниже, гораздо моложе своих восточных заместителей, и вот почему в них легче открыть следы их естественного происхождения. Как известно, пальцы рук играли огромную роль в развитии счета: достаточно напомнить, что десятичная система счисления обязана своим происхождением десяти пальцам наших рук; да разве и теперь мы сплошь и рядом не прибегаем к их помощи при счете? Поэтому вполне естественно ожидать, что и сами начертания цифр так или иначе связаны с пальцами. И действительно, для римских цифр это очень легко доказать. Вот перед нами ряд римских цифр: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X.

(Для цифры «четыре» мы берем прежнее обозначение IIII вместо нынешнего IV; знак IIII приходится, впрочем, еще и теперь часто видеть на старых стенных часах.)

Ясно, что I означает один палец, II — два пальца и т.д. до V. Эта последняя есть не что иное, как растопыренная ладонь, сокращенно обозначенная обоими крайними пальцами — большим и мизинцем. Далее, VI есть ладонь и еще один палец, т.е. пять + единица. VII — ладонь и два пальца, VIII — ладонь и три пальца, X — две сросшиеся римские пятерки. Наконец, IX — десятка без единицы: если единица, поставленная справа, прибавляется к ней, то та же единица, помещенная с противоположной стороны, должна отниматься; точно так же объясняется и происхождение IV — ладонь без одного пальца. Римские обозначения для высших разрядов не менее легко объяснить.

Происхождение римских цифр

L — пятьдесят — видоизмененное V. Наконец, C и M — для ста и тысячи — суть начальные буквы слов centum и mille. Обозначение D для пятисот иного происхождения — это половина другого обозначения для тысячи CIC.

Итак, римские цифры суть не что иное, как упрощенные рисунки пальцев рук в их различных положениях. Но каково же происхождение общеупотребительных арабских цифр? Оказывается, что они произошли совершенно тем же путем, но установить генеалогию будет гораздо труднее.