Занимательная логика. Задачи и решения - Яков Исидорович Перельман

У Брауна при виде паутины возникает идея висячего моста

Что же получилось? Расстояния были почти равны, но не вполне: не хватало ⅙ доли. Этой ничтожной разницы было достаточно, чтобы Ньютон признал свою догадку неверной и оставил свою идею!

В течение многих лет Ньютон не только не публиковал своего открытия, считая его необоснованным, — но даже никому и не рассказывал о нем. И только 16 лет спустя, узнав о новом измерении земного радиуса, Ньютон опять повторил свои вычисления. На этот раз, вследствие большей точности данных, лежащих в основе вычисления, результат получился совершенно верный. И лишь тогда Ньютон счел свою догадку справедливой. Редкий, необыкновенный пример научной добросовестности!

Вот поучительный образчик того, какую в сущности ничтожную роль играет случай в истории великих открытий. Идея, порожденная падением яблока, возникла не случайно, а потому, что Ньютон уже ранее упорно думал над этой проблемой; даже раз появившись, мысль подвергается всесторонней проверке и тщательной критике; и лишь пройдя через горнило мыслительной мастерской гения, случайная идея становится истиной.

Английский философ Бэкон Веруламский[79] дает целый ряд правил, облегчающих искусство выслеживать истину, — искусство, которое он остроумно назвал «Охотой Пана». Оно состоит в том, чтобы, наблюдая опыт, не удовлетворяться первой же возникшей идеей; надо извлекать из опыта все, что он способен дать. Бэкон выработал целую систему такой охоты за истиной, целый ряд приемов, которые носят у него специальные названия. Каждый опыт надо «варьировать», т.е. производить его над различными вещами, чтобы убедиться в одинаковости результатов. Затем опыт надо «переносить», т.е. переводить его по аналогии в другую область (телескоп — телефон; микроскоп — микрофон и т.п.). Далее надо «обращать» опыт, т.е. воспроизводить его в обратной последовательности. «Истощать» опыт — значит продолжать его до крайних пределов, до исчезновения предмета исследования (нагревать магнит, чтобы проследить, не уменьшается ли его сила). И так далее. Всех правил «охоты» мы не приводим, так как общая идея их ясна: комбинировать опыт на всякие лады при неустанной работе мысли.

Это последнее обстоятельство, — т.е. настойчивость в мышлении — играет самую важную роль в искусстве делать открытия. Когда Ньютона спрашивали, каким путем достиг он своих открытий, великий мыслитель отвечал: «Я постоянно держу в уме предмет моего исследования и терпеливо жду, пока слабое предрассветное мерцание мало-помалу превратится в яркий, блестящий свет». Вот лучший рецепт делать великие открытия — рецепт испытанный и надежный! Думайте много, упорно, настойчиво, размышляйте как можно больше, — и ваша мысль приобретет ту силу, гибкость и оригинальность, которые порождают открытия. «Гений — это терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении», — слова эти принадлежат одному из величайших гениев всех веков, тому же Исааку Ньютону.

  Заманчивая теорема

(Математическая беседа)

Пять лет тому назад пишущий эти строки поместил в журнале «Природа и люди» небольшую заметку о капитале в сто тысяч марок, завещанном тому, кто докажет так называемое «великое предложение Ферма». С тех пор в редакцию стали чуть не еженедельно поступать «доказательства» этой теоремы. Ни одно из них, к сожалению, не оказалось правильным. Впрочем, математикам всего мира посчастливилось не больше, и сто тысяч марок еще по сей день остались нетронутыми. Так как редакцию часто запрашивали о судьбе этой теоремы, то считаем нелишним познакомить читателей с тем, как обстоит дело в настоящее время.

Прежде всего — напомним, в чем заключается теорема.

Известно, что можно подыскать много пар целых чисел, сумма вторых степеней которых также есть вторая степень какого‐нибудь целого числа.

Так, 32+ 42= 9 + 16 = 25 = 52; 302+162= 342, и т.д.

Таких чисел можно найти сколько угодно. Но попробуйте подыскивать подобные же примеры для третьей степени. Вы не найдете ни одного! Полная неудача постигнет вас и при подыскании примера для четвертой, пятой и других высших степеней. В этом и состоит «великое предложение Ферма». Оно гласит, что нельзя найти таких целых чисел x, y и z, которые удовлетворяли бы уравнению xn + yn = zn, если только n больше 2.

В справедливости этой теоремы никто не сомневается — но все же доказательства ее мы в настоящее время не знаем. Кто найдет строгое математическое ее доказательство, тот получит сто тысяч марок, завещанных математиком Вольфскелем специально для этой цели. Сумма эта будет выдана и тому, кто докажет, что теорема неверна, т.е. тому, кто, например, найдет два целых числа, сумма третьих степеней которых есть тоже третья степень (или вообще найдет числа, удовлетворяющие вышеприведенному уравнению).

Любопытнее всего то, что теорема эта уже была раз доказана, но доказательство это бесследно утрачено. Знаменитый математик Пьер Ферма записал на полях одной математической книги эту теорему, но доказательства ее не поместил, так как оно «немного длинновато».

«Совершенно невозможно, — писал Ферма, — разложить полный куб на сумму двух кубов, четвертую степень на сумму двух четвертых степеней, вообще какую‐либо степень на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».

В бумагах Ферма не найдено было этого доказательства, и в чем оно состояло, мы так и не знаем. Однако нет причин сомневаться, что такое доказательство было действительно открыто Ферма. Гениального французского математика нельзя заподозрить ни в хвастовстве, ни в опрометчивости. Многие из положений, найденных им, дошли до нас без доказательств, но позднейшие изыскания показали, что положения эти вполне правильны. Лишь одной теоремы не удалось доказать до сих пор — той, о которой у нас идет теперь речь. Целый ряд гениальных математиков старался доказать эту столь простую на вид теорему — и безуспешно. Удавалось лишь доказать ее для отдельных частных случаев. Так, Эйлер доказал ее для четвертой степени, Гаусс — для пятой, Ламе[80]– для седьмой[81]. Наконец, сравнительно недавно Куммер[82] доказал ее для всех степеней, меньших ста. Однако общего ее доказательства не найдено, хотя в чаянии щедрой награды поисками его занято теперь немало людей.

«У нас накопилась, — пишет по этому поводу знаменитый немецкий математик Клейн[83]– чуть не