Занимательная логика. Задачи и решения - Яков Исидорович Перельман

целая гора доказательств. Люди всех профессий — инженеры, народные учителя, священники, банкиры, дамы и т. д, — являются авторами этих работ. Общее во всех этих работах лишь то, что их авторы не имеют ни малейшего представления о серьезном математическом значении проблемы. Они не делают даже ни малейшей попытки осведомиться в литературе вопроса…»

К сожалению, буквально то же самое приходится повторить и о большинстве русских претендентов на наследие Вольфскеля. Кстати, пользуемся случаем опровергнуть слух, до сих распространенный в обществе, — будто теорема Ферма была доказана одним русским реалистом и будто доказательство это было одобрено нашей Академией наук. Известие это действительно появилось в газетах в сентябре 1908 года и не было официально опровергнуто Академией. Тем не менее оно совершенно неверно. Редакция нашего журнала немедленно же навела справки в Академии и убедилась, что слух основан на недоразумении. Некий реалист действительно послал в Академию наук свое воображаемое доказательство и даже получил от секретаря Академии любезный, но нисколько не обнадеживающий ответ: «Присланное вами рукописное доказательство теоремы Фермата передано в I Отделение библиотеки Академии». Дело просто в том, что Академия, как казенное учреждение, не может выбрасывать поступающие в нее рукописи и обязана хранить их в своей библиотеке[84]. Доказательство юного математика даже не рассматривалось Академией по существу. Но и он, и окружающие его приняли это извещение за одобрение; отсюда и пошел упомянутый слух.

До настоящего времени из процентов на завещанный капитал выдана только тысяча марок немцу Вифериху[85], доказавшему теорему Ферма для одной группы частных случаев.

Очень поучителен случай с профессором Линдеманом[86], одним из величайших математиков нашего времени. В 1909 году он выпустил брошюру, в которой предлагает два доказательства Ферматовой теоремы. Но как оказалось, этот выдающийся математик стал жертвой простой описки: в ходе доказательства он в одном месте вместо показателя 6 написал 5… Во втором доказательстве также замечены были подобного рода описки. А между тем профессор Линдеман — первоклассный математик, зарекомендовавший себя рядом ценных, прямо классических работ.

Читатели часто запрашивают редакцию, куда следует направлять доказательства. Считаем необходимым дать по этому поводу некоторые разъяснения.

Хотя присуждение премии предоставлено Геттингенскому научному обществу, но направлять туда рукописных доказательств не следует: общество уклоняется от их рассмотрения. Оно рассматривает лишь опубликованные уже доказательства, — т.е. напечатанные в каком‐либо журнале или выпущенные в продажу отдельной брошюрой. Авторам предлагается присылать в общество (Gottinger Gesellschaft der Wissenchaften) пять экземпляров соответствующего номера журнала или брошюры. Официально объявлен также последний срок присылки — 2007 год. Времени, значит, достаточно…

Таким постановлением Геттингенское общество освобождает себя от рассмотрения многих сотен и тысяч неверных доказательств, частью перелагая эту неблагодарную работу на редакции математических журналов. Общество выступит со своим заявлением лишь тогда, когда правильное доказательство будет опубликовано. Пока же общество молчит — это означает, что правильное доказательство еще не опубликовано.

Впрочем, присуждение премии должно состояться не ранее, чем спустя два года по опубликовании доказательства. Такой срок дается для того, чтобы математики всего мира успели рассмотреть доказательство и обнаружить ошибку, если таковая была допущена (как в случае с профессором Линдеманом). Зато постановление общества неоспоримо, и выданный капитал ни в каком случае не может быть потребован обратно (даже если бы обнаружена была ошибочность доказательства).

* * *

В заключение познакомим читателей с любопытной теоремой, которая хотя и кажется сложнее Ферматовой, но все же недавно строго доказана математиками. Теорема эта гласит, что нет такого числа (целого и положительного), которое нельзя было бы представить в виде суммы одинаковых степеней целых и положительных чисел. Для второй степени число этих слагаемых ограничено 4‐мя: это значит, что нет такого числа, которое нельзя было бы представить в виде суммы 2, 3 или 4 квадратов. Возьмем наудачу число 23.

Оно равно 32+32+22+12. Число 54 = 72+22+12, и т.д. Для квадратов эта теорема доказана была еще Лагранжем[87] и Эйлером, а в общем виде — в прошлом году профессором Гильбертом[88].

 Шахматы трех измерений

Наши шахматисты развивают свою игру на плоской доске, т.е. на пространстве двух измерений; теперь, по остроумному замыслу гамбургского ученого Маака[89], появились шахматы трех измерений, использующие не плоскость, а определенный пространственный объем. Между двухмерными и трехмерными шахматами разница такая же, как между планиметрией и стереометрией.

Объясним подробнее, в чем заключается это оригинальное усовершенствование.

До сих пор, играя в шахматы, мы имели перед собой лишь одну квадратную доску с 64 полями и по этой плоскости перемещали фигуры. Изобретатель трехмерных шахмат употребляет для игры не квадрат, а куб: в нем не 64 поля, а 8 × 8 × 8 = 512 кубиков, попеременно черных и белых. Этот куб с 512 кубиками только воображается, — в действительности игроки пользуются этажеркой с 8 шахматными досками: поля этих досок суть основания 512 кубиков. Доски в этажерке расположены так, что и в вертикальном направлении черные и белые поля чередуются в шахматном порядке.

Как же перемещаются фигуры в этом «шахматном кубе»? Мы легко поймем это, если усвоим себе, что фигуры движутся по аналогии с их обычными движениями на плоской шахматной доске. Так, ладья движется перпендикулярно к сторонам поля: на плоской доске только по двум взаимоперпендикулярным направлениям, а в кубической шахматнице — по трем (т.е. еще верх и вниз). Другими словами, в трехмерных шахматах ладья с места своего нахождения может двигаться в 6 разных сторон. Офицер движется на плоской доске по диагоналям — с данного пункта в 4 стороны; в трехмерном шахматном кубе он тоже движется по диагоналям, — не только квадратиков, но и кубиков; легко рассчитать, что с занимаемого им поля офицер может двигаться в 12 разных сторон. Королева соединяет движения ладьи и офицера и может перемещаться в трехмерных шахматах по 20 направлениям. Король имеет то же движение, что и королева, но только на одно поле: его власть в новом, трехмерном королевстве распространяется лишь на объем, занимающий 3 × 3 × 3 = 27 кубиков. Пешки движутся, как ладьи, но только на одно поле и берут по диагоналям. О движениях коня читатель может сам догадаться. Правила игры на новых шахматах те же, что и на прежних — но для игрока открывается неизмеримо более широкое поле для их использования. Число фигур и их размещение то же, что и на «плоских» шахматах. Разница лишь в числе и