Занимательная логика. Задачи и решения - Яков Исидорович Перельман

Правда, пока еще человек не добыл настоящей шапки-невидимки; он научился только подражать, и то весьма несовершенно, ее волшебным свойствам. Но раз выступив в поиски шапки-невидимки, технический гений человека едва ли успокоится раньше, чем дойдет по этому пути до конечной цели.

  Стихи и поэзия в математике

Древние математики часто облекали задачи в стихотворную форму подобно тому, как теперь поступают составители шарад. До нас дошло, например, несколько таких стихотворных задач индийского математика XII века Бхаскары[93]. Четыре поэтических задачи из его сочинений мы приведем здесь в стихотворном переводе, заимствуемом из недавно вышедшей интересной книжки В. И. Лебедева «Кто изобрел алгебру?»:

Есть кадамба цветок;

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету симендга,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед, и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

В современном учебнике та же задача была бы редактирована не столь поэтично:

«Пятая часть пчелиной стайки опустилась на цветок кадамба; третья часть той же стайки села на симендгу; утроенная разность обеих групп села на кутай, и тогда из всей стайки осталась всего одна пчела. Сколько пчел было в стайке?» Решить эту задачу в уме, как требует индусский математик, довольно трудно. Зато письменно, с помощью уравнения, она решается весьма легко.

Обозначив искомое число пчел через x, составляем уравнение:

+

+ 3(

* * *

) + 1 = х

Решив уравнение, узнаем, что всех пчел было 15. Действительно: на кадамбу сели 3 пчелы, на симендгу — 5, на кутай 3 × (5–3) = 6. Вместе с одинокой пчелкой, которая «не нашла себе места нигде», имеем 15 пчел:

5 + 3 + 6 + 1 =15.

Другая задача из того же индийского сочинения — геометрического характера. Ее содержание тоже навеяно природой:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

Лишь в 4 фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось 3 фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Эта поэтическая задача решается чрезвычайно просто, если изобразить ее условие на чертеже (см. рис. 1). Пусть линия AB — высота тополя; он сломался в точке C, и верхушка его CB заняла положение CD. В прямоугольном треугольнике ACD мы знаем AC = 3 футам иAD = 4 футам.

По теореме Пифагора легко найти гипотенузу CD: она равна 5 футам.

Значит, высота тополя

3 + 5 = 8 футов.

Рис. 1

Немного труднее другая геометрическая задача сборника — также переносящая нас в живописную природу Индии:

Над озером тихим, с полфута размером,

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока?

Геометрическая зависимость между упомянутыми в задаче величинами видна из рис. 2. B — уровень воды в озере; BC — выступающая над водой часть стебля длиною в полфута. Когда ветер отнес цветок в сторону, он очутился вD, причем расстояние BD равно 2 футам. Надо узнать глубину реки, т.е. длину отрезка AB.

Обозначив искомую длину AB через x и зная, что

Рис. 2

AD = AC = AB + CB = x + ½,

составляем на основании теоремы Пифагора следующее уравнение:

(x+ ½)2= x2+22.

По раскрытии скобок член x2

в обеих частях уравнения сокращается, и мы имеем простое уравнение первой степени, приводящее к ответу:

x = 3¾.

Итак, «озера вода здесь глубока» на 3¾ фута.

Приведем еще задачу — из жизни животных Индии:

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

В прозаической передаче (см. «Алгебру» Н. Маракуева) эта древняя задача читается так:

«Стая обезьян забавлялась; одна восьмая часть их в квадрате бегала в лесу, остальные 12 кричали на верхушке холма. Скажи мне, сколько было всех обезьян?»

Задача приводит к решению квадратного уравнения:

(

)+12 = x

Оно дает два ответа: 48 и 16. Тот и другой правильны, и в сочинении индусского математика приводятся оба решения.

Кстати о решении квадратных уравнений. Первое печатное сочинение по алгебре — Луки Пачиоли[94], появившееся в 1494 году, — содержит стихотворные правила для решения квадратных уравнений. Так, уравнение вида x2

+ px = q решается согласно следующему правилу:

Si res et census numero coequantur, a rebus

Dimidio sumpto censum poducere debes

Addereque numero, cuius a radice totiens

Tolle semis rerum, census iatusque redibit[95].

По этому образцу автор интересной книжки, упомянутой выше, В. И. Лебедев составил стихотворное правило для решения уравнений обычного у нас вида: x² + px + q = 0. Известная формула наших учебников

х = —

±

облекается у него в форму бойкого стихотворения: