Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс

GF, JH, ED — перпендикулярные биссектрисы. Точка С — это центр окружности.

AI, BI, KI — это медианы. Точка I это центроид. AL, BJ и KE являются перпендикулярами. Точка О является ортоцентром.

Стороны треугольника

Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем третья сторона. Разница в длине любых двух сторон треугольника должна быть меньше, чем у третьей стороны. Смотрите рисунок 24

Рисунок 24. Длина сторон треугольника. 8> 15 — 13; 15 <8 +13

Равнобедренный треугольник

Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным треугольником.

Равнобедренный треугольник имеет много интересных свойств и особенностей. Смотрите рисунок 25.

1. Если две стороны треугольника AB и BC равны, то два угла, которые лежат напротив равных линий, равны. Угол BAD = BCD.

2. Если вы проведете линию от угла между двумя равными сторонами к средней точке третьей стороны, эта линия будет биссектрисой угла.

Рисунок 25. AB = BC.

Линия BD является биссектрисой. Она делит угол ABC на 2 равных угла ABD и DBC.

3. Биссектриса, проведенная от вершины треугольника между его равными сторонами, перпендикулярна третьей линии АС, а угол АDB и угол CDB являются прямыми и равными 90 градусам.

Биссектриса, проведённая от вершины угла, делит его пополам.

AD = DC.

Два полученных треугольника также равны.

Треугольник ABD = Треугольник DBC.

Равносторонние треугольники

Если все три стороны треугольника равны, такой треугольник называется равносторонним треугольником.

То, что верно для равнобедренного треугольника, верно и для равностороннего треугольника.

Кроме того, все три угла равностороннего треугольника равны 60 градусам. Смотрите рисунок 26.

Рисунок 26. Равносторонний треугольник. Углы А, В и С = 60 градусов.

AB = BC = AC

Биссектрисы, опущеные от каждого угла равностороннего треугольника, одновременно являются высотами и медианами. Медиана, высота или биссектриса делят равносторонний треугольник на два равных треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов. Смотрите рисунок 27.

Рисунок 27. Равносторонний треугольник ABC.

BD — это биссектриса, высота и медиана. Треугольники ABD и BDC равны.

Теорема Пифагора

В прямоугольных треугольниках квадрат гипотенузы BC равен сумме квадратов катетов AB и AC. Смотрите рисунок 28.

Рисунок 28. Теорема Пифагора

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс

Рисунок 29. Тригонометрические функции.

Синус угла А — это отношение противоположной стороны к гипотенузе.

Косинус угла A — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

Тангенс угла A является отношением противоположной стороны к прилежащей стороне.

Котангенс угла A — это отношение прилежащей стороны к противоположной стороне.

Закон косинусов показывает соотношение сторон a, b, c любого треугольника и косинуса угла C между сторонами a и b:

C^2 = a^2 + b^2 -2ab * cos (C)

Найдем неизвестную сторону треугольника ABC. Смотрите рисунок 30

AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC cos (ABC)

AC^2 = 8^2 +15^2 — 2 * 8 * 15 cos (65)

AC^2 = 64 +225 — 240 * cos (65)

cos 65 = 0.4226182617

AC^2 = 64 +225 — 240 * 0.42

AC^2 = 289 — 100.8=188.2

AC = квадратный корень из (188,2) = 13,72

Площадь треугольника можно найти, если известны две стороны и угол между ними. Площадь = 0,5 * (AB * BC) sin (ABC). Смотрите рисунок 30.

Рисунок 30. Второй способ найти область треугольника.

Сходство треугольников

Если вы измените размер одного треугольника, сохраняя пропорции его сторон, то полученный треугольник будет подобным оригинальному треугольнику. Есть 3 признака подобия или сходства треугольников.

1. Если два треугольника имеют три пары сторон и отношение стороны одного треугольника к стороне другого треугольника одинаково для каждой пары, то такие треугольники подобны. Смотрите рисунок 31.

2. Если два треугольника имеют две пары сторон и отношение стороны одного треугольника к стороне другого треугольника одинаково для каждой пары, а угол, образованный этими сторонами одного треугольника, равен углу, образованному этими сторонами другого треугольника, то треугольники подобны. Смотрите рисунок 32.

Рисунок 31. Подобные треугольники. AC / DF = AB / DE = BC / EF

Рисунок 32. Подобные треугольники. AC / DF = CB / EF, ACB = DFE

.Если два треугольника имеют два равных угла, треугольники подобны. Смотрите рисунок 33.

Рисунок 33. Подобные треугольники. CAB = FDE, ACB = DFE

Равенство треугольников

В геометрии равные треугольники называются конгруэнтными. Если вы положите один треугольник поверх другого треугольника и они совпадут, значит треугольники равны.

Три признака равенства треугольников

1. Два треугольника равны, если две стороны и угол между сторонами одного треугольника равны двум сторонам и углу между сторонами другого треугольника. Смотрите рисунок 34.

Рисунок 34. Равные треугольники

2. Два треугольника равны, если все стороны одного треугольника равны всем сторонам другого треугольника. Смотрите рисунок 35.

Рисунок 35. Равные треугольники. AB = DE, AC = DF, BC = EF

3. Два треугольника равны, если два угла и сторона между этими углами одного треугольника равны двум углам и стороне между этими углами другого треугольника. Смотрите рисунок 36.

Рисунок 36. Равные треугольники. AB = DF, BAC = EDF, ACB = DFE

Четырехугольники

Четырехугольники — это фигуры, которые имеют 4 стороны.

Четырехугольники, противоположные стороны которых равны и параллельны, называются параллелограммами.

Параллелограммы, которые имеют прямые углы, называются прямоугольниками.

Прямоугольники, у которых 4 стороны равны, называются квадратами.

Параллелограмм с 4 равными сторонами называется ромбом

Трапеции — это четырехугольники, две противоположные стороны которых параллельны, но не равны.

Существуют четырехугольники, стороны которых не параллельны и не равны, но мы не будем их обсуждать.

На рисунке 37 показаны все типы