Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс

Внутренние углы любого четырехугольника составляют 360 градусов.

Параллелограммы

Рисунок 38. Параллелограмм

KLMN — это параллелограмм. Он образован пересечением 2 пар параллельных линий. Одна пара AB и CD, другая пара EF и GH.

Противоположные стороны в параллелограмме равны.

KN = LM и KL = MN.

Противоположные углы в параллелограмме равны.

LKN = LMN и KLM = KNM.

Сумма смежных углов в параллелограмме LKN и KLM равна 180 градусов.

Две диагонали параллелограмма KM и LN пересекаются друг с другом в средней точке. Смотрите рисунок 39.

Рисунок 39. KO = OM и LO = ON

Угол KOL = углу MON и угол KON = углу LOM, потому что они являются вертикальными.

Площадь параллелограмма — это высота, умноженная на основание. Смотрите рисунок 40.

Рисунок 40. Площадь параллелограмма KLMN = LO * KN

Прямоугольники

Прямоугольники имеют все свойства параллелограмма. Кроме того, каждый угол прямоугольника равен 90 градусам. Диагонали в прямоугольнике равны. Точка пересечения диагоналей является центром описанной окружности. Смотрите рисунок 41.

Рисунок 41. ABCD — это прямоугольник.

CB = AD AO = CO = OD = OB.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является центром описывающей окружности. AD и CB являются диагоналями. О является центром круга.

Квадраты

Квадраты имеют те же свойства, что и прямоугольники, плюс все 4 стороны квадрата равны. Смотрите рисунок 42.

Рисунок 42. ABCD — это квадрат.

AB = BC = CD = AD. AO = OC = OD = BО. AC = BD

Диагонали квадрата равны и пересекаются в точке, которая является центром описываемой окружности.

AC и BD являются диагоналями. О является центром круга.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, 4 стороны которого равны, но 4 угла не равны. Как и в любом параллелограмме, противоположные углы ромба равны, а противоположные стороны равны и параллельны.

Диагонали ромба не равны. Точка пересечения диагоналей равноудалена от сторон ромба. Следовательно, это центр вписанного круга. Смотрите рисунок 43.

Рисунок 43. ABCD — ромб. AC и BD являются диагоналями.

Точка пересечения диагоналей O является центром вписанной окружности.

Трапеции

В трапеции две противоположные стороны (верх и низ) параллельны, но не равны. Они называются основаниями трапеции. Две другие стороны трапеции не параллельны и называются боковыми сторонами. На рисунке 44 AD и BC — основания, а AB и CD — боковыми стороны.

Площадь трапеции равна ее высоте, умноженной на сумму ее оснований, деленную на 2. BE — это высота трапеции. Если одна боковая сторона трапеции перпендикулярна основанию, то трапеция называется правильной трапецией.

Рисунок 44. Площадь трапеции.

Два угла, прилегающие к боковой стороне трапеции, называются дополнительными и составляют 180 градусов.

Сумма сторон трапеции называется периметром. Как правило, периметр любого многоугольника является суммой всех его сторон.

Две диагонали в трапеции AC и BD пересекают друг друга, создавая пропорциональные отрезки. См. Рисунок 45.

Рисунок 45. AO / OC = DO / OB

AOD = BOC как вертикальные углы и OAD = OCB поскольку накрест лежащие углы равны. OBC = ODA, как накрест лежащие углы равны. Треугольник AOD подобен треугольнику BOC.

Прямая, соединяющая середины боковых сторон трапеции, параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы оснований. Смотри рисунок 46.

Рис. 46. EF — это прямая линия, соединяющая середины боковых сторон трапеции. EF || AD

Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной.

У равнобедренной трапеции есть дополнительные свойства. Ее диагонали равны.

Рисунок 47. Равнобедренная трапеция. Диагональ AD = BC.

Диагонали делятся на пропорциональные отрезки CO/OB = DO/OA

Диагонали образуют конгруэнтные противоположные углы.

Угол AOC = BOD и угол AOB = COD

У равнобедренной трапеции углы, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равны.

Треугольники ACD и CDB равны, потому что их стороны равны. Треугольники ACO и BOD также равны, потому что две боковые стороны трапеции раны (AC = BD). Одна сторона (СD) общая. Cторона AO = OB, так как диагонали равны и делятся на пропорциональные отрезки. Если три стороны у треугольников равны, то такие треугольники равны.

Круг и Сфера

Рисунок 48. Круг.

Отношение длины окружности любого круга к его диаметру, является математической константой, обозначаемой греческой буквой π (пи). π примерно равно 3,14.

Отрезок прямой от центра круга до его окружности является радиусом круга.

Периметр круга равен произведению его радиуса на 2 π.

Площадь круга равна произведению π на квадрат его радиуса.

Поверхность сферы равна произведению 4 π на радиус круга.

Объем сферы равен 4/3 π * R ^ 3

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку является касательной. Касательная перпендикулярна радиусу окружности, которая заканчивается в точке касания. Смотрите рисунок 49.

Рисунок 49. AC — касательная. OB — радиус. AC _I_ OB.

Теорема: Отрезки, касающиеся окружности, опущенные из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр круга. Смотрите рисунок 50.

Рисунок 50. AB и BC — касательные к окружности.

AB = BC и углы AOB и BOC равны.

Доказательство: треугольник ABO = треугольнику BCO, потому что они имеют общую сторону OB, углы OAB и OCB являются прямыми углами и равны. И стороны AO = CO, потому что они радиусы.

Поскольку треугольник ABO = BCO, стороны треугольников AB и CB равны, а углы AOB и BOC равны.

Круг, вписанный в треугольник, делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков, потому что AB, BC и AC являются касательными

Смотрите рисунок 51.

Рисунок 51. BE = BF, CD = CF, AD = AE