Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине дуги. Смотрите рисунок 52.

Рисунок 52. AOC — центральный угол. ABC это вписанный угол. AC это дуга.

Угол ABC = ½ дуги AC.

Доказательство: поскольку AO и OB — это радиусы, AO = OB. Тогда треугольник ABO представляет собой равнобедренный треугольник, а угол BAO = углу ABO.

Угол AOC = 180 — угол AOB. Углы BAO + ABO = 180 — угол AOB. Из этого следует, что угол AOC = BAO + ABO. Поскольку углы BAO и ABO равны, то угол ABO = ½ угла AOC или угол ABC = 1/2 угла AOC.

Поскольку центральный угол AOC равен дуге AC, то угол ABC = ½ дуги AC.

Рисунок 53. Углы ACB, ADB и AEB равны

Если вписанные углы пересекают одну и ту же дугу, они равны. Это является следствием теоремы о вписанных углах.

Рис. 54. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым углом.

Как следствие теоремы о вписанном угле, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым углом.

Рисунок 55. Угол, образованный пересечением двух касательных, равен половине разницы перехваченных дуг.

ABC = ½ (дуга AEC — дуга ADC)

Рисунок 56. Угол BAC, образованный пересечением касательной и хорды, равен половине измерения перехваченной дуги AC.

Рисунок 57. Угол, образованный пересечением 2 секущих, равен половине разницы перехваченных дуг. ACE = ½ (дуга AE — дуга BD)

Рисунок 58. Угол, образованный пересечением касательной и секущей, равен половине разницы перехваченных дуг

ABD = ½ (дуга DE — дуга CE).

Угол, образованный двумя хордами, которые пересекаются внутри круга, составляет половину суммы дуг, образованых данным углом и его вертикальным углом. AEB = ½ (дуга AB + дуга CD). Рисунок 59.

Рис. 59.

Теорема:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180º. Смотрите рисунок 60.

Рисунок 60. Углы BAD + BCD = 180º

Доказательство: угол BAD равен ½ от меры перехваченной дуги BCD.

Угол BCD равен ½ от меры перехваченной дуги BAD.

Тогда угол BAD + угол BCD = ½ меры (дуга BCD + дуга BAD).

Поскольку (дуга BCD + дуга BAD) = 360, то угол BAD + угол BCD = 180.

Следствия из теоремы:

1. Из всех параллелограммов только прямоугольник может быть вписан в круг (включая квадрат).

2. Только равнобедренная трапеция может быть вписана в круг

Цилиндр

Рисунок 61. Цилиндр

Площадь поверхности цилиндра состоит из поверхности двух торцов, которые являются кругами, и площади боковой поверхности, которая является параллелограммом. Площадь одного круга равна π * R ^ 2, а площадь двух кругов будет равна 2 π * R ^ 2.

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра цилиндра на его радиус.

Периметр цилиндра равен периметру основания и равен 2 π р.

Тогда площадь боковой поверхности равна 2 π R * h.

Полная площадь цилиндра — это площадь двух торцов и площадь боковой поверхности:

A = 2 π * R * h +2 π * R ^ 2

Конус

Рисунок 62. Конус

Площадь поверхности конуса состоит из площади основного круга и площади стороны.

Площадь круга равна π R ^ 2, а площадь боковой поверхности равна π * R * S.

Графики. Координатная геометрия

В декартовой системе координат каждая точка определяется расстоянием от перпендикулярных линий, которые обозначены как ось X и ось Y.

Линейные функции

Простейшая функция Y = X представлена прямой линией, которая пересекает начало координат (точку пересечения между осью X и осью Y) и делит пополам прямой угол между осью X и осью Y.

Чтобы построить функцию в системе координат, присвойте любое значение X и вычислите соответствующее значение для Y. Например, для функции Y = X, если X = 0, то Y = 0. Если X = 4, то Y = 4.

Двух точек достаточно, чтобы нарисовать график для линейной функции, которая является прямой линией в системе координат.

Для функции Y = — X график будет иметь зеркальную ориентацию.

Если X = 0, то Y = 0; если X = 3, то Y = -3

На рисунке 63 вы можете увидеть, как были рассчитаны точки. Обратите внимание, что для любой линейной функции

Y = aX + b, где a и b являются константами и представлены действительными числами; изменение «a» на отрицательное число изменит ориентацию графика.

Рисунок 63. График функций: Y = X и Y = — X

На рисунке 64 видно, что график функции Y = 3X имеет зеркальную ориентацию графика функции Y = — 3X.

Кроме того, вы можете видеть, что крутизна линии для функции Y = 3X больше, чем крутизна линии для функции Y = X.

Найдем 2 точки для функции Y = 3X. Если X = 0, то Y = 0. Если X = 1, то Y = 3

Найдем 2 точки для функции Y = -3X. Если X = 0, то Y = 0. Если X = 1, то Y = -3

Рисунок 64. График функций: Y = 3X и Y = -3X

Угловой коэффициент прямой или наклон прямой

Угловой коэффициент прямой линии — это отношение вертикальных изменений к горизонтальным изменениям. Смотрите рисунок 65.

У треугольника ABC вертикальная сторона BC является катетом, противоположным углу BAC, который является углом наклона прямой.

Сторона AC является катетом, прилегающим к углу BAC. Отношение противоположного катета к прилежащему является тангенсом угла BAC. Поэтому угловой коэффициент прямой численно равен тангенсу угла BAC.

Рисунок 65. Угловой коэффициент прямой. УКП. (5 —