Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс

Обратите внимание, что парабола с отрицательным знаком перед X открывается вниз.

Вершина, Фокус и Директриса Параболы

Парабола — это зеркально-симметричный набор точек, равноудаленных от данной точки (фокуса).

Вершина параболы — это минимальная или максимальная точка, в которой парабола пересекает ось симметрии.

Директриса параболы — это прямая, перпендикулярная оси симметрии.

От любой точки параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Рисунок 71. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.

Приведенная выше парабола построена с использованием функции

Y = 0,125 X^2

Были найдены следующие точки:

Х = 0; Y = 0,

X = 1; Y = 0,125,

X = 2; Y = 0,5,

Х = 3; Y = 1,125

Х = -1; Y = 0,125

X = -2; Y = 0,5

Х = -3; Y = 1,125

Как найти вершину, фокус и директрису параболы?

Уравнение вертикальной параболы с вершиной (h, k) имеет вид:

4p (y — k) = (x — h) ^2

Число p называется фокусным параметром; оно равно расстоянию от фокуса до директрисы.

Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, ее вершина находится между фокусом и директрисой на одинаковом расстоянии от обеих.

Найти вершину, фокус и директрису для уравнения параболы

8Y = 4X ^ 2 -24X +44

Решение:

Упростим уравнение, разделив обе его стороны на 4

8Y / 4 = (4X^2 -24X +44) /4

2Y = X^2 — 6X +11

Рисунок 72. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.

Теперь нам нужно получить уравнение в виде 4p (Y -k) = (X -h) ^2

Вы можете видеть, что X^2 — 6X +9 = (X — 3) ^2

Тогда мы можем изменить наше уравнение:

2Y = X^2 — 6X +9 +2 (потому что 9 +2 = 11)

Или 2Y = (X — 3) ^2 +2

Вычтите 2 с обеих сторон уравнения.

2Y -2 = (X -3) ^2 +2 -2

Наше уравнение 2 (Y -1) = (X -3) ^2 теперь имеет вид

4p (Y -k) = (X -h) ^2

Из нашего уравнения 4p = 2, тогда p = 0.5

Вершина = (h, k) = (3, 1) или X = 3, Y = 1

Фокус = (h, к + р) = (3, 1 +0,5) = (3, 1,5)

Директриса представляет собой прямую, параллельную оси X с уравнением Y = k-p = 1 — 0,5 = 0,5

Мы можем проверить, правильно ли мы вычислили координаты вершины, если мы заменим X на 3 в исходном уравнении или в уравнении

2Y = X ^ 2 -6X +11

2Y = 3^2 -6 * 3 +11

2Y = 9 -18 +11 = 11—9 = 2

Y = 1

Так как мы получаем Y = 1, координаты вершины правильные

X = 3, Y = 1.

Кубическая функция

Y = X^3

Построим график кубической функции Y = X^3.

X = 0 Y = 0 ^ 3 = 0

X = 1 Y = 1 ^ 3 = 1

X = 2 Y = 2 ^ 3 = 8

X = -1 Y = (-1) ^3 = -1

X = -2 Y = (-2) ^3 = -8

График функции Y = X^3 показан на рисунке 73. Обратите внимание, что график функции Y = X^3 +3 смещен вверх, а график функции Y = X^3 — 3 смещен вниз.

Для функции Y = X^3 +3, если X = 0, Y = +3.

Для функции Y = X^3 — 3, если X = 0, Y = — 3.

Рисунок 73. Кубическая функция X.

Функция квадратного корня из X выглядит как горизонтальная парабола.

Рисунок 74. Функция квадратного корня.

Задачи

Задача 1. Если два треугольника подобны, то соответствующие углы должны быть _________.

а) равными

б) пропорциональными

в) равны 180 градусам.

Задача 2. Соотношение углов в треугольнике составляет 6: 9: 15. Найти измерение каждого угла в градусах.

а) 24, 36, 60

б) 36, 54, 90

в) 46, 54, 80

г) 35, 65, 90

Задача 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны 30, 40 и 50.

Задача 4. Найдите площадь параллелограмма ABCD на рисунке 75:

Рисунок 75. ABCD — это параллелограмм. AD = 19 см, CE = 11 см

Задача 5. В параллелограмме на рисунке 1 найдите длину стороны AB, если ED = 5.5.cm

Задача 6. В задаче 4 вы нашли, что площадь ABCD равна 209. Найдите длину BF, если угол BFC = 90 градусов. Смотрите рисунок 76.

Рисунок 76. AD = 19, CE = 11

Задача 7. На рисунке 76 найдите площадь многоугольника ABFD.

Задача 8. На рисунке 2 найдите площадь треугольника BCF.

Задача 9. Найдите площадь трапеции на рисунке 77.

Рисунок 77. Трапеция ABCD

Задача 10. Найти площадь круга, если его радиус = 7. См. Рисунок 78.

Рисунок 78. Круг

Задача 11. Площадь круга равна 255. Найти радиус. (Приблизительно)

Задача 12. Прямоугольный треугольник имеет стороны 8, 3X и 5x.

5х — гипотенуза треугольника.

Найдите стороны и площадь треугольника. Смотрите рисунок 79.

Figure 79.

Задача 13. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 45. Один катет равен 9. Найдите длины всех сторон. Рисунок 80.

Рисунок 80

Задача 14. Углы треугольника равны 2x, 2 x — 45 и x. Сторона, противоположная углу 2x, равна x. Найдите длину всех сторон треугольника. Смотрите рисунок 81.

Рисунок 81

Задача 15. В равнобедренном треугольнике длина равных сторон равна 10, а длина основания равна 7. Какова площадь треугольника? Рисунок 82

Рисунок 82

Задача 16. Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 5м. Смотрите рисунок 83.

Рисунок 83.