Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс

Рисунок 66. Параллельные линии для функций (f, g, h) с одинаковым угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

Прямые для функций Y = X, Y = X +3 и Y = X — 3 параллельны, потому что эти функции имеют одинаковый коэффициент перед X. Это верно для любой линейной функции: Y = aX + b.

Y = aX + b — уравнение прямой с наклоном a и y-пересечением b.

Для Y = X +3, a = 1 и b = 3. На графике видно, что точка пересечения оси Y для функции Y = X +3 равна 3.

Для функции Y = X — 3, a = 1 и b = — 3. Таким образом, точка пересечения оси Y для функции Y = X — 3 равна -3.

Наклон для обеих функций равен 1.

Вопрос: Найти угловой коэффициент прямой (наклон) и X, Y-пересечения для функции Y = 3X +7

Ответ: Поскольку коэффициент перед X равен 3, то наклон = 3, а поскольку b равно 7, Y-точка пересечения будет равна 7.

Как найти точку пересечения оси X? Присвойте Y = 0, тогда 0 = 3X +7

0 — 3X = 3X +7 — 3X. Вычтите 3X с обеих сторон уравнения.

— 3X = 7

Х = -7/3; точка пересечения оси X = — 2,33

Вы можете построить график и проверить правильность решения.

Посмотрите на следующие графики:

Рисунок 67. Графики линейных функций с разными наклонами.

Обратите внимание, что для графика функции Y = aX + b наклон будет увеличиваться с увеличением коэффициента перед X. Это можно увидеть на рисунке 67.

Чем больше коэффициент перед X, тем больше наклон функции.

Функция может быть написана в другой форме. Например, Y = 2X +9 можно записать как:

Y — 2X = 9 или Y — 9 = 2X.

Вы не должны паниковать, если видите такое уравнение. Вместо этого вы должны решить это уравнение для Y и записать его в правильной форме.

Рассмотрим уравнение 3Y — 6X = 9

Найти угол наклона и точки пересечения X и Y для функции 3Y — 6X = 9.

Сначала решите уравнение для Y. Добавим 6X к обеим сторонам уравнения.

3Y — 6X +6X = 9 +6X.

Тогда получим 3Y = 6X +9.

Разделим каждую часть уравнения на 3 и получим:

Y = 2X +3.

Теперь вы можете видеть, что наклон уравнения равен 2, потому что коэффициент 2 находится перед X, а точка пересечения Y равна 3. Чтобы найти точку пересечения X, найдите X, когда Y = 0.

0 = 2X +3

Вычтите 2X с обеих сторон уравнения.

0 — 2X = 2X +3 — 2X

— 2X = 3

Х = -3/2 = -1,5

Точка пересечения X = -1,5

Постройте график, чтобы проверить, правы ли вы. Найдите хотя бы две точки, чтобы начертить линию.

Х = 0, Y = 2 * 0 +3 = 3

Х = 1, Y = 2 * 1 +3 = 5

Рисунок 68. Наклон и точки пересечения x и y осей для функции Y=2X +3.

Из графика вы можете видеть, что точка пересечения Y равен 3, а точка пересечения X -1,5.

Наклон = (Y2 — Y1) / (X2 — X1) = (5 — 3) / (1 — 0) = 2/1 = 2.

Нелинейные Функции

Для линейной функции изменение X соответствует пропорциональному изменению Y. Для нелинейной функции это правило не используется.

Например, для функции Y = 2X +3, если X = 1, Y = 5, если X = 2, Y = 7, если X = 3, Y = 9, если X = 4, Y = 11. Таким образом, каждое увеличение X на один вызывает увеличение Y на 2.

Для функции Y = X^2, если X = 1, Y = 1, если X = 2, Y = 4, если X = 3, Y = 9, если X = 4, Y = 16.

Для каждого возрастания X на единицу Y изменяется на 3, затем на 5, затем на 7.

Увеличение Y не пропорционально увеличению X. Следовательно, эта функция не является линейной.

Функция Y = 1 / X также является нелинейной. Давайте построим ее график.

Если X = 0,25, Y = 4.

Если X = 0,5, Y = 2.

Если X = 1, то Y = 1.

Если X = 2, то Y = 1/2.

Если X = 3, то Y = 1/3.

Если X = 4, Y = 1/4. Если Х = -0,25, Y = -4.

Если X = -0,5, Y = -2.

Если X = 1, Y = -1.

Если X = -2, Y = -1/2.

Если X = -3, то Y = -1 / 3.

Если X = -4, Y = — 1/4.

Рисунок 69. Функция Y = 1 / X

Обратите внимание, что линии, представляющие функцию Y = 1 / X, не могут пересекать начало координат, поскольку X не может быть равно 0. Деление на ноль не определено.

Парабола

Построим график для функции Y = X^2.

Если X = 0, Y = 0.

Если X = 1, Y = 1.

Если X = 2, Y = 4.

Если X = 3, Y = 9. Если X = -1, Y = 1.

Если X = -2, Y = 4.

Если X = -3, Y = 9.

Построим график для функции Y = -X^2.Если X = 0, Y = 0.

Если X = 1, Y = -1.

Если X = 2, Y = — 4.

Если X = 3, Y = — 9. Если X = -1, Y = -1.

Если X = -2, Y = — 4.

Если X = — 3, Y = — 9.

Смотрите графики на рисунке 70.

Рисунок 70. Параболы

На рисунке 70 вы можете увидеть, как построить